欧拉角转旋转矩阵：详解步骤与公式

欧拉角是描述旋转的一种方式，旋转矩阵是将旋转转换为矩阵形式的表示。因此，将欧拉角转为旋转矩阵需要进行一定的计算。

以下是将欧拉角转为旋转矩阵的步骤：

根据旋转顺序确定旋转矩阵的计算顺序。通常采用 Z-Y-X 的顺序。
根据欧拉角的定义，将欧拉角转为旋转矩阵的公式为：

$$ R_{z-y-x}(\theta,\phi,\psi) = R_z(\psi)R_y(\phi)R_x(\theta) $$

其中，$R_z(\psi)$、$R_y(\phi)$、$R_x(\theta)$ 分别表示绕 Z 轴、Y 轴、X 轴旋转的旋转矩阵，$\psi$、$\phi$、$\theta$ 分别表示绕 Z 轴、Y 轴、X 轴旋转的角度。

根据旋转矩阵的定义，将绕 Z 轴、Y 轴、X 轴旋转的旋转矩阵计算出来：

$$ R_z(\psi) = \begin{bmatrix} \cos \psi & -\sin \psi & 0 \ \sin \psi & \cos \psi & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

$$ R_y(\phi) = \begin{bmatrix} \cos \phi & 0 & \sin \phi \ 0 & 1 & 0 \ -\sin \phi & 0 & \cos \phi \end{bmatrix} $$

$$ R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$

将三个旋转矩阵按照计算顺序相乘，得到最终的旋转矩阵：

$$ R_{z-y-x}(\theta,\phi,\psi) = R_z(\psi)R_y(\phi)R_x(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \psi \cos \phi & \cos \psi \sin \phi \sin \theta - \sin \psi \cos \theta & \cos \psi \sin \phi \cos \theta + \sin \psi \sin \theta \ \sin \psi \cos \phi & \sin \psi \sin \phi \sin \theta + \cos \psi \cos \theta & \sin \psi \sin \phi \cos \theta - \cos \psi \sin \theta \ -\sin \phi & \cos \phi \sin \theta & \cos \phi \cos \theta \end{bmatrix} $$

因此，将欧拉角转为旋转矩阵的公式为：

$$ R_{z-y-x}(\theta,\phi,\psi) = \begin{bmatrix} \cos \psi \cos \phi & \cos \psi \sin \phi \sin \theta - \sin \psi \cos \theta & \cos \psi \sin \phi \cos \theta + \sin \psi \sin \theta \ \sin \psi \cos \phi & \sin \psi \sin \phi \sin \theta + \cos \psi \cos \theta & \sin \psi \sin \phi \cos \theta - \cos \psi \sin \theta \ -\sin \phi & \cos \phi \sin \theta & \cos \phi \cos \theta \end{bmatrix} $$

其中，$\psi$、$\phi$、$\theta$ 分别表示绕 Z 轴、Y 轴、X 轴旋转的角度。