欧拉角转旋转矩阵：详解及公式推导

欧拉角可以表示为三个角度的组合：'α'，'β'和'γ'。将欧拉角转换为旋转矩阵需要分别对应三个旋转矩阵的乘积。假设旋转顺序为ZYX，即先绕z轴旋转'α'，然后绕y轴旋转'β'，最后绕x轴旋转'γ'，则旋转矩阵为：

$$ R(\alpha, \beta, \gamma) = R_z(\alpha)R_y(\beta)R_x(\gamma) $$

其中，$R_x(\gamma)$、$R_y(\beta)$和$R_z(\alpha)$分别为绕x、y、z轴旋转的旋转矩阵，具体为：

$$ R_x(\gamma) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos(\gamma) & -\sin(\gamma) \ 0 & \sin(\gamma) & \cos(\gamma) \end{bmatrix}, \quad R_y(\beta) = \begin{bmatrix} \cos(\beta) & 0 & \sin(\beta) \ 0 & 1 & 0 \ -\sin(\beta) & 0 & \cos(\beta) \end{bmatrix}, \quad R_z(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0 \ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

因此，将欧拉角'α'，'β'和'γ'转换为旋转矩阵$R(\alpha, \beta, \gamma)$的过程如下：

$$ R(\alpha, \beta, \gamma) = \begin{bmatrix} \cos(\beta)\cos(\gamma) & -\cos(\beta)\sin(\gamma) & \sin(\beta) \ \cos(\alpha)\sin(\gamma) + \sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma) & \cos(\alpha)\cos(\gamma) - \sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma) & -\sin(\alpha)\cos(\beta) \ \sin(\alpha)\sin(\gamma) - \cos(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma) & \sin(\alpha)\cos(\gamma) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma) & \cos(\alpha)\cos(\beta) \end{bmatrix} $$

其中，第一行表示旋转后x轴方向的坐标系，第二行表示旋转后y轴方向的坐标系，第三行表示旋转后z轴方向的坐标系。