几何原本公理否定第十条：证明平行线距离处处相等

几何原本中的公理：

1. 任意两点之间都存在一条直线段。
2. 任意长度都可以用单位长度的倍数来表示。
3. 对于任意三个点，它们不共线的话，存在一个平面使这三个点在这个平面上。
4. 在同一平面内，对于任意两条线，它们要么相交，要么平行。
5. 如果两条直线分别与第三条直线相交，使得相邻的内角和小于两个直角的和，则这两条直线在这个方向上相交。
6. 对于任意角度的直线和一个点，都可以在这个点处作一个角度相等的线段。
7. 任意线段都可以延长到任意长度。
8. 在任意三角形中，任意一条边大于另外两条边之差，小于另外两条边之和。
9. 在任意三角形中，角的和等于直角的和。
10. 否定掉第十条：存在一条直线和其他直线，使得它们与另一个直线的内角和小于两个直角的和。

证明平行线之间距离处处相等：

假设有两条平行线 AB 和 CD，且它们之间的距离为 d。

取一点 O 在 AB 上，以 O 为圆心，以 d 为半径作圆，与 CD 相交于 E 和 F。连接 OE 和 OF。

由于 AB 和 CD 平行，所以 ∠EOF 和 ∠BOA 为内错角，相等。又因为 ∠BOA 为直角，所以 ∠EOF 为直角，即 OE ⊥ CD。

同理，连接 OF，可得 OF ⊥ AB。

因此，OE 和 OF 均为 AB 和 CD 的垂线，且它们之间的距离为 d。

由于任意两条直线之间只能有一条垂线，所以 OE 和 OF 是 CD 上任意一点的垂线，它们之间的距离都为 d。

因此，平行线 AB 和 CD 之间的距离处处相等。