正五角星坐标计算：半径为5的五角星顶点坐标及内角点坐标

正五角星的内角为 $36^/circ$，因此可以先计算出五个顶点的坐标，再计算出每个顶点与相邻两个顶点之间的夹角，从而求出剩下五个点的坐标。/n/n五个顶点的坐标可以通过正五边形的顶点坐标公式得到：/n/n$$//begin{aligned}//x_1 &= 5//cos//frac{//pi}{10} = 4.0451 ////y_1 &= 5//sin//frac{//pi}{10} = 2.9389 ////x_2 &= 5//cos//frac{3//pi}{10} = 1.8541 ////y_2 &= 5//sin//frac{3//pi}{10} = 4.0451 ////x_3 &= 5//cos//frac{5//pi}{10} = 0 ////y_3 &= 5//sin//frac{5//pi}{10} = 5 ////x_4 &= 5//cos//frac{7//pi}{10} = -1.8541 ////y_4 &= 5//sin//frac{7//pi}{10} = 4.0451 ////x_5 &= 5//cos//frac{9//pi}{10} = -4.0451 ////y_5 &= 5//sin//frac{9//pi}{10} = 2.9389 ////end{aligned}//$$ /n/n接下来，以顶点 $1$ 为例，计算其相邻两个顶点的夹角：/n/n$$//angle AOB = //frac{180^/circ - 36^/circ}{2} = 72^/circ$$ /n/n其中，$OA=OB=5$，$AB=2x_1=8.0902$。/n/n根据余弦定理，可以得到：/n/n$$//begin{aligned}//cos//angle AOB &= //frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2OA//cdot OB} ////&= //frac{5^2+5^2-8.0902^2}{2//cdot 5//cdot 5} ////&= 0.309//end{aligned}//$$ /n/n因此，$OC=5//cdot 0.309=1.545$，$OD=5//cdot 0.951=4.755$，$O$ 为原点。/n/n最终，可以得到五个点的坐标：/n/n$$//begin{aligned}//& C(1.545, 4.755) ////& D(3.090, 0) ////& E(-1.545, 4.755) ////& F(-4.755, 1.545) ////& G(-2.9389, -4.0451)//end{aligned}//$$ /n/n其中，$C, D, E, F, G$ 依次为顶点 $1$ 的左下、下、右下、右、左边的点。