证明：非零实数 a, b, c 两两不等且满足 a^2 + a + c = b^2 + b + c = c^2 + c + a 时，a + b + c = abc = -1

首先，根据题目条件，我们有：

a'2 + a + c = b'2 + b + c

a'2 + a - (b'2 + b) = c - c

(a + b)(a - b) + (a - b) = 0

(a - b)(a + b + 1) = 0

由于a和b两两不等，因此得到a + b = -1。

同样的，我们可以推导出：

b + c = -1

c + a = -1

将这些式子联立起来，得到：

(a + b + c) + 2(a + b + c) = -3

(a + b + c)(2a + 2b + 2c) = -3

2(a + b + c)(a + b + c + 1) = -3

(a + b + c)(a + b + c + 1) = -3/2

由于a、b、c都是非零实数，因此它们的积abc也是非零实数。我们可以将上面的式子乘以abc，得到：

abc(a + b + c)(a + b + c + 1) = -3/2 * abc

abc(a + b + c) * (ab + bc + ca + abc) = -3/2 * abc

(a + b + c) * (ab + bc + ca + abc) = -3/2

由于a + b + c = -1，因此：

(-1) * (ab + bc + ca + abc) = -3/2

ab + bc + ca + abc = 3/2

再将这个式子和abc的定义联立起来，得到：

abc + a + b + c = 3/2

abc = 3/2 - (a + b + c)

abc = 3/2 + 1

abc = 1/2

最终得到结论：

a + b + c = abc = -1。