GF(2) 上 4 阶移位寄存器输出序列的详细解析

在 GF(2) 上的 4 阶移位寄存器，其初始状态为 S0=(0001)，连接多项式为 g(x)=x4+x+1。

首先，我们需要了解一些专业术语：

GF(2)：Galois Field 2，也被称为二元有限域，是只有 0 和 1 两个元素的有限域。
移位寄存器：是一种电子数字逻辑电路，可以在时钟信号的控制下实现数据的移位和存储。

在这个问题中，我们使用的是 GF(2) 上的移位寄存器，其中连接多项式 g(x)=x4+x+1。这个多项式的意义是，当我们将它作为移位寄存器的连接多项式时，它能够实现最大长度序列（Maximum Length Sequence，MLS），也就是说，输出序列的周期长度为 2^4-1=15。

接下来，我们来推导输出序列的每一位。

首先，我们将初始状态 S0=(0001) 写成二进制数的形式，也就是 1。

然后，我们不断地对这个状态进行移位和异或操作，直到输出序列的长度达到 15。

具体地，我们按照以下步骤进行操作：

将 S0 左移一位，得到 S1=(0010)。由于 S0 的最高位是 0，所以左移后在最低位填充了一个 0。
检查 S0 的最低位，如果是 1，则将 S1 的最高位异或上连接多项式 g(x) 的系数，得到 S1=(1010)。由于 S0 的最低位是 1，所以我们需要将 S1 的最高位异或上 g(x) 的系数，也就是将 S1 的第 4 位（最高位）变为 1。
将 S1 左移一位，得到 S2=(0100)。由于 S1 的最高位是 1，所以左移后在最低位填充了一个 1。
检查 S1 的最低位，如果是 1，则将 S2 的最高位异或上 g(x) 的系数，得到 S2=(1100)。由于 S1 的最低位是 0，所以 S2 的最高位不需要改变。
将 S2 左移一位，得到 S3=(1000)。由于 S2 的最高位是 1，所以左移后在最低位填充了一个 0。
检查 S2 的最低位，如果是 0，则 S3 的最高位不需要改变。
将 S3 左移一位，得到 S4=(0001)。由于 S3 的最高位是 1，所以左移后在最低位填充了一个 0。
检查 S3 的最低位，如果是 1，则将 S4 的最高位异或上 g(x) 的系数，得到 S4=(1001)。由于 S3 的最低位是 0，所以 S4 的最高位不需要改变。
将 S4 左移一位，得到 S5=(0010)。由于 S4 的最高位是 1，所以左移后在最低位填充了一个 0。
检查 S4 的最低位，如果是 0，则 S5 的最高位不需要改变。
将 S5 左移一位，得到 S6=(0100)。由于 S5 的最高位是 0，所以左移后在最低位填充了一个 0。
检查 S5 的最低位，如果是 0，则 S6 的最高位不需要改变。
将 S6 左移一位，得到 S7=(1000)。由于 S6 的最高位是 0，所以左移后在最低位填充了一个 0。
检查 S6 的最低位，如果是 0，则 S7 的最高位不需要改变。
将 S7 左移一位，得到 S8=(0001)。由于 S7 的最高位是 1，所以左移后在最低位填充了一个 0。
检查 S7 的最低位，如果是 1，则将 S8 的最高位异或上 g(x) 的系数，得到 S8=(1001)。由于 S7 的最低位是 0，所以 S8 的最高位不需要改变。

现在，我们得到了输出序列：(1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1)。这个序列的长度为 15，符合连接多项式 g(x) 的性质。

综上所述，我们使用 GF(2) 上的 4 阶移位寄存器和连接多项式 g(x)=x4+x+1，得到了输出序列为 (1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1)。