GF(2) 上 4 阶线性反馈移位寄存器输出序列计算

本文将解释如何计算一个初始状态为 (0001) 、连接多项式为 g(x)=x4+x+1 的 4 阶线性反馈移位寄存器 (LFSR) 在 GF(2) 上的输出序列。

概念解释:

GF(2): 也称为二元域，是一个由 0 和 1 组成的有限域。GF(2) 上的加法和乘法运算遵循模 2 运算规则，即 1+1=0, 11=1, 0+0=0, 00=0, 01=0, 10=0。
连接多项式: 连接多项式用于定义 LFSR 的反馈逻辑。它是一个系数为 0 或 1 的多项式，表示 LFSR 中的哪些状态位参与反馈运算。
LFSR: 线性反馈移位寄存器是一种能够生成伪随机序列的简单数字电路。

计算过程:

将连接多项式 g(x) 表示为二进制数: g(x)=x4+x+1 可以表示为二进制数 10111。
将初始状态 S0 表示为二进制数: S0=(0001)。
进行 4 次移位操作，并根据连接多项式 g(x) 计算每次移位操作的结果:
- 第一次移位: S1=(0010) (将 S0 左移一位，并将最高位设置为 S0 的最低位与 g(x) 的最高次项的乘积，即 0*1=0)。
- 第二次移位: S2=(0101) (将 S1 左移一位，并将最高位设置为 S1 的最低位与 g(x) 的最高次项的乘积，即 0*1=0)。
- 第三次移位: S3=(1010) (将 S2 左移一位，并将最高位设置为 S2 的最低位与 g(x) 的最高次项的乘积，即 1*1=1)。
- 第四次移位: S4=(0100) (将 S3 左移一位，并将最高位设置为 S3 的最低位与 g(x) 的最高次项的乘积，即 0*1=0)。
输出序列: LFSR 的输出序列由每次移位操作后寄存器的最低位组成，因此输出序列为 (1, 0, 1, 0)。

总结: 这个 4 阶 LFSR 在 GF(2) 上的输出序列为 1010。