GF(2) 上 4 阶线性反馈移位寄存器输出序列分析

GF(2) 上 4 阶线性反馈移位寄存器输出序列分析

本文将详细分析一个在 GF(2) 上的 4 阶线性反馈移位寄存器 (LFSR) 的输出序列。该 LFSR 的初始状态为 S0 = (0001)，连接多项式为 g(x) = x⁴ + x + 1。我们将一步一步地解释计算过程并解释相关概念。

1. 基本概念

• GF(2): 代表的是有限域，也叫布尔域，其元素只能是 0 或 1。
• 线性反馈移位寄存器 (LFSR): 由多个寄存器组成的器件，每个寄存器存储一个二进制位。通过不断的移位和异或操作，可以生成一个伪随机序列。
• 连接多项式: 定义了 LFSR 的反馈方式，其系数决定了哪个寄存器的值参与异或操作。

2. 具体分析

该 4 阶 LFSR 的初始状态 S0 = (0001)，表示有 4 个寄存器，初始时第一个寄存器值为 1，其余为 0。连接多项式 g(x) = x⁴ + x + 1 表示：

• x⁴: 第 4 个寄存器的值参与反馈。
• x: 第 1 个寄存器的值参与反馈。
• 1: 常数项参与反馈。

接下来，我们按以下步骤计算输出序列：

1. 输入初始状态: 将 S0 = (0001) 输入 LFSR。
2. 移位操作: 将 LFSR 中的值向右移动一位，得到 S1 = (0010)。
3. 反馈操作: 根据连接多项式 g(x)，对 S1 进行异或操作。由于 x⁴ 和 x 的系数均为 1，所以将 S1 的第 4 位 (0) 和第 1 位 (0) 异或，并加上常数项 1，得到 S2 = (0101)。
4. 重复步骤 2 和 3: 继续进行移位和反馈操作，依次得到 S3 = (1010), S4 = (1101), S5 = (1011), S6 = (1110), S7 = (1100), S8 = (1111) 等等。

3. 输出序列

因此，这个 LFSR 的输出序列为：

(0001, 0010, 0101, 1010, 1101, 1011, 1110, 1100, 1111, ...)

通过不断重复步骤 2 和 3，我们可以得到该 LFSR 的完整输出序列。