矩阵转置的乘法性质：证明 (AB)T = B TAT

设矩阵 'A' 为 'm×n'，矩阵 'B' 为 'n×p'，则 '(AB)T' 的大小为 'p×m'，而 'B^T' 和 'A^T' 的大小分别为 'p×n' 和 'n×m'。/n/n下面证明 '(AB)T=B^T A^T'：/n/n对于 '(AB)T' 中的第 'i' 行第 'j' 列元素 '(AB)T_{ij}'，它由 'AB' 中的第 'j' 行第 'i' 列元素 'AB_{ji}' 转置得到，即 '(AB)T_{ij}=AB_{ji}'。/n/n而 'AB_{ji}' 又可以表示为 'A' 中第 'i' 行与 'B' 中第 'j' 列对应元素的乘积之和，即：/n/n$$AB_{ji}=/sum_{k=1}^nA_{jk}B_{ki}$$/n/n将其转置得到：/n/n$$AB_{ji}=(B^T){ik}(A^T){kj}$$/n/n因此，/n/n$$(AB)^T_{ij}=AB_{ji}=/sum_{k=1}^nA_{jk}B_{ki}=/sum_{k=1}^n(B^T){ik}(A^T){kj}=/sum_{k=1}^p(B^T A^T){ik}$$/n/n即 '(AB)^T{ij}=(B^T A^T)_{ji}'，因此 '(AB)^T=B^T A^T'。/n/n根据上述结论，我们可以得到 '(AB)^T=B^T A^T=B^TAT'，即 '(AB)^T=B^TAT'。