Aitken 迭代法：加速函数收敛的算法实现

在数值分析中，Aitken 迭代法是一种加速函数收敛速度的算法。它通过利用前两次迭代的值来预测下一个迭代的结果，从而减少迭代次数，更快地得到函数的近似解。

算法原理

Aitken 迭代法的核心公式如下：

  p = x0 - (x1 - x0)^2 / (x2 - 2 * x1 + x0)

其中：

x0：上一次迭代的值
x1：当前迭代的值
x2：下一次迭代的值
p：预测的下一个迭代的值

Python 代码实现

以下代码使用 Python 实现 Aitken 迭代法，并以文本格式保存迭代结果：

def aitken_iteration(functions, limit, n, x0):
    x0_list = [x0] * len(functions)  # 保存初值
    x1_list = [func(x0_list[j]) for j, func in enumerate(functions)]  # 保存x1
    x_list = [x0] * len(functions)  # 迭代数据
    flag_list = [0] * len(functions)  # 标记是否迭代完成
    funcname = ' \t'.join([func.__name__ for func in functions])  # 函数名作表头
    x0_str = ' \t'.join([str(x0)] * len(functions))
    data = f"n\t{funcname}\t{x0_str}\n"  # 表头
    x1_str = ' \t'.join([str(x1_list[j]) for j in range(len(functions))])  # 第一步迭代的数据
    data += f"1\t{x1_str}\n"  # 增加表格第一步迭代对应的行
    for i in range(2, n + 1):
        if all(flag == 1 for flag in flag_list):  # 所有迭代都完成则不继续进行迭代
            break
        row = f"{i}\t"  # 当前行
        for j, func in enumerate(functions):
            if flag_list[j] == 1:
                row += "\t"  # 迭代完成，不显示
                continue
            try:
                x2 = func(x1_list[j])
                p = x0_list[j] - (x1_list[j] - x0_list[j]) ** 2 / (x2 - 2 * x1_list[j] + x0_list[j])
                if abs(p - x_list[j]) < limit:  # 数据收敛
                    row += f"{p}\t"
                    flag_list[j] = 1
                    continue
                x0_list[j] = x1_list[j]
                x1_list[j] = x2
                x_list[j] = p
            except OverflowError:
                row += "溢出\t"  # 数据溢出异常
                flag_list[j] = 1  # 标记迭代完成
                continue  # 继续计算其他函数
            row += f"{p}\t"
        row += "\n"
        data += row
    with open('aitken_iteration_results.txt', 'w') as fileptr:
        fileptr.write(data)

代码说明

functions：一个包含待求解函数的列表
limit：收敛条件，即预测值与上一次迭代值的差小于该值时，认为迭代收敛
n：最大迭代次数
x0：迭代的初始值

应用场景

Aitken 迭代法在许多数值计算中都有应用，例如求解方程组、数值积分等。该方法可以有效地提高迭代过程的效率，减少迭代次数，从而更快地得到函数的近似解。

总结

Aitken 迭代法是一种简单有效的加速函数收敛速度的算法，它在数值计算中具有广泛的应用。通过使用该方法，可以有效地减少迭代次数，从而更快地得到函数的近似解。