马尔科夫链：满员状态下，平均多久出现空位？

这是一个马尔科夫链，每个状态表示当前有几个人，共有4个状态（0, 1, 2, 3）。我们需要求解从状态3转移到状态2的期望步数，即有一个人离开的期望步数。

可以使用马尔科夫链的基本性质，设 $E_i$ 表示从状态 $i$ 开始，到达状态2的期望步数。则有以下方程：

$$\begin{aligned}\E_3 &= 1 + 0.25E_2 + 0.75E_3 \E_2 &= 1 + 0.25E_1 + 0.5E_2 + 0.25E_3 \E_1 &= 1 + 0.5E_1 + 0.25E_2 + 0.25E_3 \E_0 &= 1 + 0.5E_0 + 0.5E_1\end{aligned}$$

其中，每个方程左边的1表示从当前状态到下一个状态需要1步。右边的系数表示在当前状态下，下一步转移到每个状态的概率乘以对应状态的期望步数。例如，$0.25E_2$ 表示从状态3转移到状态2的概率乘以从状态2到状态2的期望步数。

解方程组可得 $E_3 \approx 3.6$，即从状态3到状态2的期望步数为3.6步，也就是大约需要3.6个人离开才能有空位。