抽奖概率递增问题：期望多少次能抽到 N 个奖品？

这是一个经典的概率问题，可以使用几何分布进行求解。/n/n设 'X' 表示抽取到 'n' 个奖品所需要的次数，那么 'X' 的概率分布为：/n/n$$P(X=k)=(1-p)^{k-n}p^n(0<k/leq n)$$/n/n其中，'p=2%' 为每次抽取到奖品的概率。/n/n期望次数可以表示为：/n/n$$E(X)=/sum_{k=n+1}^{/infty}k/cdot(1-p)^{k-n}p^n$$/n/n对于 'k/geq n+1'，有：/n/n$$(1-p)^{k-n}=/exp((k-n)/ln(1-p))/leq/exp(-(k-n)p)$$/n/n因此，我们有：/n/n$$E(X)/leq/sum_{k=n+1}^{/infty}k/cdot/exp(-(k-n)p)p^n=/frac{p^n}{1-/exp(-p)}/sum_{k=n+1}^{/infty}k/exp(-kp)$$/n/n根据等比数列求和公式，有：/n/n$$/sum_{k=n+1}^{/infty}k/exp(-kp)=/frac{/exp(-(n+1)p)}{(1-/exp(-p))^2}+/frac{/exp(-np)}{1-/exp(-p)}$$/n/n因此，期望次数为：/n/n$$E(X)/leq/frac{p^n}{(1-/exp(-p))^3}/left[/exp(-(n+1)p)+/frac{/exp(-np)}{1-/exp(-p)}/right]$$ /n/n这个式子可以直接计算得出期望次数。例如，当 'n=1' 时，期望次数为：/n/n$$E(X)/leq/frac{0.02}{(1-/exp(-0.02))^3}/left[/exp(-0.02)+/frac{/exp(-0.02)}{1-/exp(-0.02)}/right]/approx 51.8$$/n/n当 'n=2' 时，期望次数为：/n/n$$E(X)/leq/frac{0.0004}{(1-/exp(-0.02))^3}/left[/exp(-0.04)+/frac{/exp(-0.02)}{1-/exp(-0.02)}/right]/approx 262.5$$/n/n当 'n=3' 时，期望次数为：/n/n$$E(X)/leq/frac{0.000008}{(1-/exp(-0.02))^3}/left[/exp(-0.06)+/frac{/exp(-0.02)}{1-/exp(-0.02)}/right]/approx 1007.1$$/n/n从这些结果可以看出，抽取到更多的奖品需要更多的次数，但是期望次数增长得非常快，因此抽取到多个奖品的概率非常低。