已知 a>0，函数 f(x) = (1-ax)(e^x-1) 存在极小值点，证明 f(x0) >= 0

首先，我们求出 h(x) 的导数：

h'(x) = 1/(x+1) - (1-ax)e^x

令 h'(x)=0，得到极小值点 x0 为：

x0 = ln(1/a)

将 x0 代入 h(x) 得到：

h(x0) = ln(1/a+1) - f(x0) = ln(1/a+1) - (1-aln(1/a))(e^ln(1/a)-1) = ln(1/a+1) - (1-aln(1/a))(1/a) = ln(1/a+1)/a + 1/a - 1

我们要证明 f(x0)>=0，即证明 h(x0)<=ln(1/a+1)/a。因为 x0 是 h(x) 的极小值点，所以 h'(x0)=0，h''(x0)>0。所以 h(x) 在 x0 处取得极小值，即 h(x)<=h(x0)。因此：

h(x0) <= h(x0) = ln(1/a+1)/a + 1/a - 1

我们只需证明：

ln(1/a+1)/a + 1/a - 1 <= ln(1/a+1)/a

整理得：

1/a <= ln(1/a+1)

令 y=1/a+1，即 y>1，上式变为：

lny >=1/y-1

对于 y>1，考虑函数 f(y)=lny-1/y+1，有：

f'(y)=1/y^2-1/y^2=0 f''(y)=-2/y^3<0

所以 f(y) 在 y>1 处取得极小值，即：

lny-1/y+1 >= f(e) = e-1/e

将 y=1/a+1 代入得到：

ln(1/a+1) >= 1/a - e + 1/e

因为 e>1，所以 e-1/e>0，所以上式成立。所以：

h(x0) <= ln(1/a+1)/a + 1/a - 1 <= ln(1/a+1)/a

即：

h(x0) <= ln(1/a+1)/a

因此：

f(x0) >= ln(1/a+1)/a

证毕。