一阶线性常微分方程 dy/dx+py+qx=0 的解法 - 常数变易法

这是一个一阶线性常微分方程，可以用常数变易法来求解。

首先将方程化为标准形式：

dy/dx = -py - qx

然后设 y = u(x) e^(int(pdx))，其中 int(pdx) 表示 p(x) 的不定积分。

对上式两边求导数，可以得到：

dy/dx = u'(x) e^(int(pdx)) + p(x) u(x) e^(int(pdx))

将上面两个式子代入原方程，得到：

u'(x) e^(int(pdx)) + p(x) u(x) e^(int(pdx)) + q(x) u(x) e^(int(pdx)) = 0

化简后得到：

u'(x) + (p(x) + q(x)) u(x) = 0

这是一个一阶线性常微分方程，可以用常数变易法来解。

首先将其写成标准形式：

u'(x) = - (p(x) + q(x)) u(x)

然后设 u(x) = e^(int(-(p(x)+q(x))dx)) v(x)，其中 int(-(p(x)+q(x))dx) 表示 -(p(x)+q(x)) 的不定积分。

对上式两边求导数，可以得到：

u'(x) = e^(int(-(p(x)+q(x))dx)) [v'(x) - (p(x)+q(x))v(x)]

将上面两个式子代入原方程，得到：

e^(int(-(p(x)+q(x))dx)) [v'(x) - (p(x)+q(x))v(x)] = - (p(x) + q(x)) e^(int(-(p(x)+q(x))dx)) v(x)

化简后得到：

v'(x) = 0

因此，v(x) 是一个常数，设其为 C。

最终解为：

u(x) = C e^(-int(p(x)+q(x))dx)

y(x) = u(x) e^(int(p(x)dx)) = C e^(-int(q(x)dx))

其中 C 是任意常数。