抛物线切线性质证明：直线 PO 恒过顶点

首先，将抛物线 C 的方程改写为$x = \frac{1}{4}y^2$，这样可以更方便地求出各点坐标。

过点 A 的动直线 l 的斜率为$k$，则动直线 l 的方程为$y = k(x + 1)$。

将动直线 l 带入抛物线 C 的方程，得到一个关于$x$的二次方程$y^2 = 4x = 4(k(x + 1))$，化简后为$4kx - y^2 + 4k = 0$。

由于动直线 l 经过点 A，因此点 A 也是上述二次方程的一个根。设另一个根为$x_0$，则由二次方程的根与系数的关系可知，$x_0 = \frac{1}{4}y_A^2 - \frac{1}{4k}$，其中$y_A = 0$是点 A 的纵坐标。

因此，点 M 的坐标为$\left(x_0, kx_0\right) = \left(\frac{1}{4}y_A^2 - \frac{1}{4k}, \frac{k}{4}y_A^2 - \frac{1}{4}\right) = \left(-\frac{1}{4k}, -\frac{1}{4}\right)$。

点 P 的横坐标为$-1$，带入动直线 l 的方程可得其纵坐标为$k(-1) = k$。

因此，点 Q 的坐标为$\left(\frac{1}{4}k^2, -k\right)$。

设点 R 为抛物线 C 的另一个顶点，则其坐标为$(0, \pm 2\sqrt{0}) = (0, 0)$或$(0, -2)$。因此，证明只需证明直线 PO 经过点 R。

首先，设点 R 为$(0, 0)$。则直线 PO 的斜率为$\frac{k}{1} = k$，与动直线 l 的斜率相同。因此，直线 PO 与动直线 l 平行。又因为动直线 l 经过点 M，因此直线 PO 也经过点 M。又因为点 M 和点 Q 在抛物线 C 上，因此直线 PO 同时经过这两个点，即经过线段 MQ 的交点，其纵坐标为$-\frac{1}{2}$。而直线 PO 经过点 A，其纵坐标为$0$。因此，直线 PO 经过点 R$(0, 0)$。

接下来，设点 R 为$(0, -2)$。则直线 PO 的斜率为$\frac{k}{1} = k$，与动直线 l 的斜率相同。因此，直线 PO 与动直线 l 平行。又因为动直线 l 经过点 P，因此直线 PO 也经过点 P。又因为点 P 和点 Q 在抛物线 C 上，因此直线 PO 同时经过这两个点，即经过线段 PQ 的交点，其纵坐标为$-\frac{1}{2}$。而直线 PO 经过点 A，其纵坐标为$0$。因此，直线 PO 经过点 R$(0, -2)$。

综上所述，直线 PO 恒过一个顶点，证毕。