锐角三角形中三角函数表达式取值范围问题

首先，由余弦定理，$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab/cos A$，代入题目中的条件得到：/n/n$$c-b=2b/cos A //Rightarrow c=3b/cos A + b$$/n/n接下来考虑求出 $/sin(C+B)$ 和 $/cos^2(A-B)$ 的取值范围。/n/n由正弦定理，$/sin(C+B) = /sin/left[(/pi-A)+(A+B)/right] = /sin(A+B)$，而 $/sin(A+B) = /sin(/pi-C) = /sin C$。因此，$/sin(C+B)$ 的取值范围是 $0 < /sin C /leq 1$。/n/n同理，由余弦定理，/n/n$$/cos(A-B) = /cos A/cos B + /sin A/sin B = /frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = /frac{4/cos^2 A}{3/cos A + 1} - /frac{1}{3/cos A + 1}$$/n/n考虑 $/cos^2(A-B)$ 取值范围的时候，可以先求出 $/cos(A-B)$ 的取值范围。显然，$/cos(A-B)$ 的取值范围是 $-1 /leq /cos(A-B) /leq 1$。因此，/n/n$$-1 /leq /frac{4/cos^2 A}{3/cos A + 1} - /frac{1}{3/cos A + 1} /leq 1$$/n/n化简得，/n/n$$-/frac{2}{3} /leq /cos^2 A - /frac{1}{3}/cos A /leq /frac{3}{4}$$/n/n注意到 $/cos A$ 的取值范围是 $0 < /cos A /leq /frac{1}{2}$（因为 $ABC$ 是锐角三角形），因此可以将不等式左右乘以 $/cos A$ 得到：/n/n$$-/frac{2}{3}/cos A /leq /cos^3 A - /frac{1}{3}/cos^2 A /leq /frac{3}{4}/cos A$$/n/n因为 $0 < /cos A /leq /frac{1}{2}$，所以 $/cos^3 A /leq /frac{1}{8}$，$/cos^2 A /leq /frac{1}{4}$，$/cos A /leq /frac{1}{2}$。因此，可以将上述不等式除以 $/cos A$ 得到：/n/n$$-/frac{2}{3} /leq /cos^2 A - /frac{1}{3}/cos A /leq /frac{3}{4}$$/n/n即/n/n$$-/frac{2}{3} /leq /frac{4/cos^2 A}{3/cos A + 1} - /frac{1}{3/cos A + 1} /leq /frac{3}{4}$$/n/n因此，$/cos^2(A-B)$ 的取值范围是 $-/frac{2}{3} /leq /cos^2(A-B) /leq /frac{3}{4}$。/n/n最后，代入题目中的式子得到：/n/n$$/sin(C+B)+2/cos^2(A-B) = /sin C + 2/cos^2(A-B)$$/n/n因为 $0 < /sin C /leq 1$，$-/frac{2}{3} /leq /cos^2(A-B) /leq /frac{3}{4}$，所以/n/n$$0 /leq /sin(C+B)+2/cos^2(A-B) /leq /frac{11}{4}$$/n/n因此，$/sin(C+B)+2/cos^2(A-B)$ 的取值范围是 $0 /leq /sin(C+B)+2/cos^2(A-B) /leq /frac{11}{4}$。