抛物线与动直线交点问题：证明直线恒过定点

首先，求出抛物线C的顶点，将其化为标准式：

y'2 = 4x y = ±2√x

可知，当x=0时，y=0，因此顶点为O(0,0)。

接下来，考虑过点A的动直线l的方程。由于该直线的斜率不确定，我们可以先将其表示为一般式：

y - 0 = k(x + 1)

其中，k为动态参数，表示直线l的斜率。

将抛物线C的方程代入直线l的方程，得到方程组：

y - kx - k = 0 y'2 - 4x = 0

解得：

x = k'2 / 4 y = k'3 / 4 + k

将x代入抛物线C的方程，得到：

y'2 = k'3

解得：

y = ±√k'3

注意到y>0，因此可知：

y = √k'3 = k√k

将y代入直线l的方程，得到：

k√k = kx + k

代入x的表达式，得到：

k√k = k'3 / 4 + k

化简可得：

k'3 - 4k√k + 4k = 0

这是一个关于k的三次方程，可以用牛顿迭代法求解。不过，我们并不需要求出具体解，只需要知道：

• 该方程的三个根之和为0（根据韦达定理）；
• 该方程的三个根之积为4。

这意味着，如果将三个根分别表示为k1、k2、k3，则：

k1 + k2 + k3 = 0 k1 k2 k3 = 4

我们已知点A和B的坐标，因此可以求出直线AP和BP的方程。设AP的方程为y = mx + 1，BP的方程为y = nx + 1，则直线MB的方程为：

y - 1 = -(n - m)(x + 1)

这里的符号是因为，直线MB的斜率为(n - m)/(1 - (-1)) = -(n - m)/2。

将直线MB的方程代入抛物线C的方程，得到：

y'2 = 4x = -(n - m)(x + 1) + 1

将y表示为mx + 1或nx + 1的形式，化简可得：

mx'2 + (2 - m'2)x + (1 - 2m) = nx'2 + (2 - n'2)x + (1 - 2n)

移项并合并同类项，得到：

(m - n)x'2 + (n'2 - m'2)x + (n - m) = 0

这是一个关于x的二次方程，根据题意，其有两个实根，分别对应于点M和点Q。设这两个根为x1和x2，则根据韦达定理：

x1 + x2 = (m'2 - n'2)/(m - n) = m + n x1 x2 = (m - n)/(m'2 - n'2) = 1/(mn)

注意到点P是直线AP和BP的交点，因此其坐标可以用以下公式求出：

xP = (mx1 - nx2)/(m - n) yP = mxP + 1

将x1 + x2和x1 x2的表达式代入上式，化简可得：

xP = (m'3 - n'3 - 3mn)/(3(m - n)(mn + 1)) yP = (m'4 - 2m'2n'2 + n'4)/(4(mn + 1))

这是点P的坐标，但我们并不需要它的具体值。注意到题目中要求证明直线PQ恒过一个定点，也就是证明点P、Q、以及另一个点R的坐标共线。因此，我们只需要证明矢量PQ和PR的叉积为0即可。

设矢量PQ为(p1, p2)，矢量PR为(r1, r2)，则它们的叉积为：

p1 r2 - p2 r1

将矢量PQ和PR的坐标代入上式，化简可得：

p1 r2 - p2 r1 = (m - n)'3/(12(mn + 1))

注意到右侧是一个常数，与点Q无关，因此点P、Q、R共线，且直线PQ恒过一个定点。

最后，我们来求出这个定点的坐标。注意到题目中已经给出了点A和B，因此我们只需要求出点Q的坐标即可得到定点的坐标。将x1代入直线MB的方程，可得：

y1 = m(x1 + 1) + 1 = 2m

将x2代入直线MB的方程，可得：

y2 = n(x2 + 1) + 1 = -2n

将x1 x2的表达式代入上式，得到：

y1 y2 = -4

注意到点Q在抛物线C上，因此其坐标可以用以下公式求出：

xQ = (y1'2 - y2'2)/4 yQ = (y1 + y2)/2

将y1 y2的表达式代入上式，化简可得：

xQ = mn yQ = m'2 - n'2

这就是点Q的坐标。因此，定点的坐标为：

(-mn, (m'2 - n'2)/2)

证毕。