四棱锥P-ABCD中证线面垂直及求角和面积

首先，连接$AD, BD, CD$，如下图：/n/n[图片]/n/n因为底面$ABCD$是直角梯形，所以$AD/perp AB$，$AD/parallel BC$，所以$AD/perp BC$，即$AD$是底面$ABCD$的高。又因为$PA/perp AB$，所以$PA/perp AD$，即$PA$也是底面$ABCD$的高。因此，$PA/parallel AD$，且$PA=AD$，所以$P$是底面$ABCD$的中心点。/n/n接着，连接$PM, PN$，如下图：/n/n[图片]/n/n因为$M, N$分别是$PB, PC$的中点，所以$PM/parallel AB$，$PN/parallel CD$，且$PM=//frac{1}{2}PB$，$PN=//frac{1}{2}PC$。/n/n(1) 要证明$PB/perp$平面$ADMN$，只需证明$PB$垂直于平面$ADN$和$ABM$即可。/n/n由于$PB/parallel CD$，所以$PB/perp AD$，即$PB$垂直于平面$ADN$。/n/n又因为$PB/parallel AB$，所以$PB/perp MN$。又因为$MN/parallel AD$，所以$PB$垂直于平面$ABM$。因此，$PB/perp$平面$ADMN$。/n/n(2) 要求$BD$与平面$ADMN$所成的角，可以通过求$BD$与平面$ABCD$的夹角，再利用垂线的性质求得$BD$与平面$ADMN$的夹角。/n/n由于$ABCD$是直角梯形，所以$BD$垂直于底面$ABCD$，即$BD$与平面$ABCD$的夹角为$90^/circ$。/n/n又因为$PB/perp$平面$ADMN$，所以$PB$在平面$ADMN$上的投影$PQ$是垂线。因此，$BD$与平面$ADMN$的夹角等于$BD$与$PQ$的夹角。又因为$PB/parallel BD$，所以$BD$与$PQ$平行，即$BD$与平面$ADMN$的夹角为$0^/circ$。/n/n(3) 要求四边形$ADMN$的面积，可以分成三个部分：$/triangle APM$、$/triangle DPN$和梯形$MNDC$。/n/n由于底面$ABCD$是直角梯形，所以底边长为$AD+BC=3$，上底边长为$AB=2$，高为$PA=AD=1$。因此，底面$ABCD$的面积为$//frac{1}{2}(2+3)/times 1=2.5$。/n/n对于$/triangle APM$和$/triangle DPN$，它们的底边长均为$PN=//frac{1}{2}PC=//frac{1}{2}/sqrt{5}$，高均为$PA=1$。因此，$/triangle APM$和$/triangle DPN$的面积均为$//frac{1}{2}/times //frac{1}{2}/sqrt{5}=0.5/sqrt{5}$。/n/n对于梯形$MNDC$，它的上底边长为$MN=//frac{1}{2}PB=//frac{1}{2}/sqrt{5}$，下底边长为$DC=BC=1$，高为$PA=1$。因此，梯形$MNDC$的面积为$//frac{1}{2}/times (//frac{1}{2}/sqrt{5}+1)/times 1=//frac{1}{4}/sqrt{5}+//frac{1}{2}$。/n/n因此，四边形$ADMN$的面积为$/triangle APM+/triangle DPN+$梯形$MNDC=0.5/sqrt{5}+0.5/sqrt{5}+//frac{1}{4}/sqrt{5}+//frac{1}{2}=//frac{5/sqrt{5}+6}{4}$。