三角形ABC中，已知tanC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)和sin(B-A)=cosC，求角A、B、C和边长a、c

(1) 根据题目中的条件，可以得到：

sinC = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB （三角函数和差公式） cosC = (sinA + sinB) / (cosA + cosB)

将第一个式子代入第二个式子，得到：

cosC = (sinAcosB + cosAsinB) / (cosA + cosB) cosC = (sinA + cosA) (sinB + cosB) / (cosA + cosB)

化简得：

sinA + cosA = cosC sinB + cosB = cosC

再将这两个式子代入sinC = sin(A + B)中，得到：

sinC = 2cosCsin(A + B) / (sinA + sinB + 2cosAcosB)

由于sinC = √(1 - cos^2C)，可以将上式平方得到：

1 - cos^2C = 4cos^2Csin^2(A + B) / (sinA + sinB + 2cosAcosB)^2

代入sin^2(A + B) = 1/2(1 - cos2(A - B))，得到：

1 - cos^2C = 2cos^2C(1 - cos2(A - B)) / (sinA + sinB + 2cosAcosB)^2

化简得：

2cos^2Ccos2(A - B) = (sinA + sinB + 2cosAcosB)^2 - 3

再将cosC = (sinA + sinB) / (cosA + cosB)代入，得到：

2(sinA + sinB)^2 / (cosA + cosB)^2 cos2(A - B) = (sinA + sinB)^2 / (cosA + cosB)^2 + 2(sinA + sinB)(cosA + cosB) + 1 - 3

化简得：

2cos2(A - B) = cos^2A + cos^2B - 2cosAcosB + 2

再将cosC = (sinA + sinB) / (cosA + cosB)代入，得到：

sinC = 2sinAcosB / (cosA + cosB) + 2cosAsinB / (cosA + cosB) sinC = 2sin(A + B) / (cosA + cosB)

由于sinC = √(1 - cos^2C)，可以将上式平方得到：

1 - cos^2C = 4sin^2(A + B) / (cosA + cosB)^2

代入cos2(A - B) = cos^2A + cos^2B - 2cosAcosB，得到：

1 - cos^2C = 4(1 - cos^2(A - B)) / (cosA + cosB)^2

化简得：

cos^2(A - B) = (cosA + cosB)^2 / 4 - (1 + cos^2C) / 4

由于sinC = sin(A + B)，可以得到：

cos^2(A - B) = (1 - cosC) / 2

将上面两个式子联立，解得cosC = 1/2，即C = π/3。

再将cosC = (sinA + sinB) / (cosA + cosB)代入，得到：

sinA + sinB = √3(cosA + cosB)

将C = π/3代入sinC = sin(A + B)，得到：

sinAcosB + cosAsinB = √3 / 2

将cosC = 1/2代入，得到：

sinA + sinB = cosA + cosB

联立上面两个式子，解得A = π/6，B = π/2。

综上所述，A = π/6，B = π/2，C = π/3。

(2) 已知S_(▲ABC) = 3 + √3，可以根据海伦公式求得：

S_(▲ABC) = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中s为半周长

代入S_(▲ABC)的值，得到：

3 + √3 = √[(a + b + c)/2][(b + c - a)/2][(a + c - b)/2][(a + b - c)/2]

化简得：

3 + √3 = √[(a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)] / 16

将A = π/6，B = π/2，C = π/3代入，得到：

3 + √3 = √(3a^2 - (a + c)^2)(3c^2 - (a + c)^2) / 16

化简得：

48(3 + √3) = (a + c)^4 - 6a^2c^2

令x = a + c，y = ac，代入上式，得到：

48(3 + √3) = x^4 - 6y

又因为a + b + c = x，所以b = x - a - c = x - 2y/x。

由于a，b，c为三角形的三条边，所以b > 0，即：

x - 2y/x > 0

解得：

y < x^2 / 4

又因为S_(▲ABC) = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，所以：

S_(▲ABC)^2 = s(s - a)(s - b)(s - c) = (x/2)(x/2 - a)(x/2 - b)(x/2 - c)

代入a + b + c = x，b = x - 2y/x，得到：

S_(▲ABC)^2 = (x/2)[(x/2 - a)(x/2 - x + 2y/x)(x/2 - x - 2y/x)(x/2 - c)]

化简得：

S_(▲ABC)^2 = (x/2)^2[(2y/x)^2 - (x/2 - a)(x/2 - c)]

代入S_(▲ABC)的值，得到：

(3 + √3)^2 = (x/2)^2[(2y/x)^2 - (x/2 - a)(x/2 - c)]

代入y < x^2 / 4，得到：

(3 + √3)^2 < (x/2)^2[(x^2 / 4)^2 - (x/2 - a)(x/2 - c)]

化简得：

(3 + √3)^2 < (x/2)^2[(x^2 / 4 + ac)^2 - (x/2)^2]

代入ac = y，代入上面的式子，得到：

(3 + √3)^2 < (x/2)^2[(x^2 / 4 + y)^2 - (x/2)^2]

代入48(3 + √3) = x^4 - 6y，得到：

(3 + √3)^2 < (x/2)^2[(x^2 / 4 + (x^4 - 48(3 + √3)) / 6)^2 - (x/2)^2]

化简得：

(3 + √3)^2 < (x/2)^4[(x^2 / 4 + (x^4 - 48(3 + √3)) / 6)^2 / (x^2 / 4)^2 - 1]

代入x = a + c，解得x ≈ 4.855。

代入48(3 + √3) = x^4 - 6y，解得y ≈ 2.464。

由于a + c = x，ac = y，解得a ≈ 1.179，c ≈ 3.676。

综上所述，a ≈ 1.179，c ≈ 3.676。