二次方程求根：当根为正整数时m的取值

首先，我们可以使用判别式来确定方程的根的性质。方程的判别式为'D = b^2 - 4ac'。/n/n将方程'(m-1)x²-2mx+m+1=0'与一般的二次方程ax²+bx+c=0进行比较，得到'a = m-1'，'b = -2m'，'c = m+1'。/n/n代入判别式的公式，得到'D = (-2m)^2 - 4(m-1)(m+1) = 4m^2 - 4(m^2 - 1) = 4'。/n/n根据判别式的结果，当'D > 0'时，方程有两个不相等的实根；当'D = 0'时，方程有两个相等的实根；当'D < 0'时，方程没有实根。/n/n因此，当'D = 4 > 0'时，方程有两个不相等的实根。而且题目要求这两个根都是正整数。/n/n我们可以列出方程的根的求解公式：'x = /frac{-b /pm /sqrt{D}}{2a}'。代入'a = m-1'，'b = -2m'，'D = 4'，得到'x = /frac{2m /pm 2}{2(m-1)} = /frac{m /pm 1}{m-1}'。/n/n为了使得根是正整数，我们必须满足两个条件：'m /pm 1'是'm-1'的倍数，且'm /pm 1 > 0'。/n/n首先考虑'm + 1'是'm-1'的倍数，可以设'm + 1 = k(m-1)'，其中k是正整数。解得'm = /frac{k+1}{k-1}'。/n/n然后考虑'm - 1'是'm-1'的倍数，可以设'm - 1 = k(m-1)'，其中k是正整数。解得'm = /frac{k+1}{k+1}'。/n/n综上所述，当'm = /frac{k+1}{k-1}'或'm = /frac{k+1}{k+1}'时，方程的两个根都为正整数。