求函数 f(x) = π+x 在 [-π, 0] 区间上的傅里叶展开式

根据傅里叶展开定理，可以将函数 f(x) 展开为：

f(x) = (a0/2) + Σ[ancos(nx) + bnsin(nx)]

其中，a0、an 和 bn 分别为函数 f(x) 的系数，可通过以下公式计算：

a0 = (1/π) ∫[-π,π] f(x) dx an = (1/π) ∫[-π,π] f(x) cos(nx) dx bn = (1/π) ∫[-π,π] f(x) sin(nx) dx

由于函数 f(x) 在区间 [-π,0] 上是一个直线，因此可以直接求出 a0 和 an 的值：

a0 = (1/π) ∫[-π,π] (π+x) dx = (1/π) [π*x + (x^2/2)]|[-π,π] = π/2

an = (1/π) ∫[-π,π] (π+x) cos(nx) dx = (1/π) [πsin(nx)/n + xsin(n*x)]|[-π,π] = (2/π) [(-1)^n - 1]/n^2

bn = (1/π) ∫[-π,π] (π+x) sin(nx) dx = (1/π) [-πcos(nx)/n - xcos(n*x)]|[-π,π] = 0

因此，函数 f(x) 的傅里叶展开式为：

f(x) = (π/2) + Σ[(2/π) * [(-1)^n - 1]/n^2 * cos(n*x)]

其中，n 为正整数。