求函数 f(x) = π+x 在区间 [-π, 0] 上的傅里叶展开式

根据傅里叶级数的定义，我们需要求出函数 f(x) 的周期为 2π 的傅里叶系数。由于 f(x) 在 [-π, 0] 上定义，我们可以将其扩展为一个以 2π 为周期的函数：

f(x) = π + x, -π ≤ x < 0 π - x, 0 ≤ x ≤ π

因此，f(x) 的周期为 2π，且在 [-π, π] 以外的区间上是一个奇函数（即 f(-x)=-f(x)），可以使用正弦函数的傅里叶级数展开式求解：

f(x) = a0/2 + Σ(n=1 to ∞)[ansin(nx)]

其中，a0 和 an 分别表示傅里叶系数，它们的计算公式为：

a0 = (1/π) * ∫(-π,π) f(x) dx an = (1/π) * ∫(-π,π) f(x) * sin(n*x) dx

计算 a0：

a0 = (1/π) * ∫(-π,π) f(x) dx = (1/π) * [∫(-π,0) (π+x) dx + ∫(0,π) (π-x) dx] = (1/π) * [π*x + (1/2)x^2]│(-π,0) + (-πx + (1/2)*x^2)│(0,π) = 0

因为 f(x) 在 [-π, π] 上的积分为 0，所以 a0=0。

计算 an：

an = (1/π) * ∫(-π,π) f(x) * sin(nx) dx = (1/π) * [∫(-π,0) (π+x) sin(nx) dx + ∫(0,π) (π-x) sin(nx) dx] = (1/π) * [∫(-π,0) πsin(nx) dx + ∫(-π,0) xsin(nx) dx + ∫(0,π) πsin(nx) dx - ∫(0,π) xsin(nx) dx] = (1/π) * [(2/π) * (1-cos(nπ)) + (1/n^2) * (cos(nπ)-1+πnsin(nπ)) + (2/π) * (cos(nπ)-1) - (1/n^2) * (cos(nπ)-1-πnsin(nπ))] = (-4/πn^2) * cos(nπ)

因为 cos(n*π) 的值为 (-1)^n，所以 an 的计算公式可以简化为：

an = (-4/πn^2) * (-1)^n

因此，f(x) 的傅里叶级数展开式为：

f(x) = Σ(n=1 to ∞)[(-4/πn^2) * (-1)^n * sin(n*x)]

注意，这个展开式只在 [-π, 0] 上成立，因为在 [0, π] 上 f(x) 的定义与 [-π, 0] 上不同，其展开式也不同。