证明：连续分布函数的一致连续性

假设 $F(x)$ 是一个连续的分布函数，即对于任意的实数 $x$，$F(x)$ 都存在且连续。我们需要证明 $F(x)$ 是一致连续的，即对于任意的 $/epsilon > 0$，存在一个 $/delta > 0$，使得当 $|x - y| < /delta$ 时，有 $|F(x) - F(y)| < /epsilon$。/n/n因为 $F(x)$ 是连续的，所以对于任意的 $/epsilon > 0$，存在一个 $/delta_1 > 0$，使得当 $|x - y| < /delta_1$ 时，有 $|F(x) - F(y)| < /frac{/epsilon}{2}$。现在我们需要证明存在一个 $/delta_2 > 0$，使得当 $|x - y| < /delta_2$ 时，有 $|F(x) - F(y)| < /epsilon$。/n/n考虑将实数轴分成若干个不相交的区间 $[k, k+1)$，其中 $k$ 是整数。因为 $F(x)$ 是一个分布函数，所以对于任意的 $x$，有 $0 /leq F(x) /leq 1$。因此，对于任意的 $k$，$F(k+1) - F(k) /leq 1$。/n/n现在我们假设存在一个 $/delta_2 > 0$，使得当 $|x - y| < /delta_2$ 时，$|F(x) - F(y)| /geq /epsilon$。因为 $F(x)$ 是连续的，所以对于任意的 $k$，存在一个 $/alpha_k$，使得 $|x - /alpha_k| < /delta_2$ 且 $|F(x) - F(/alpha_k)| /geq /epsilon$。因为 $/alpha_k$ 在区间 $[k, k+1)$ 中，所以 $/alpha_k$ 必定属于某个区间 $[j, j+1)$，其中 $j$ 是整数。/n/n现在考虑两个不同的 $/alpha_k$ 和 $/alpha_l$，它们都属于区间 $[j, j+1)$。因为 $|/alpha_k - /alpha_l| /geq /delta_2$，所以 $|F(/alpha_k) - F(/alpha_l)| /geq /epsilon$。但是根据前面的结论，$F(j+1) - F(j) /leq 1$，所以 $|F(/alpha_k) - F(/alpha_l)| /leq 1$。这是一个矛盾，因此假设不成立，即存在一个 $/delta_2 > 0$，使得当 $|x - y| < /delta_2$ 时，有 $|F(x) - F(y)| < /epsilon$。/n/n因此，我们证明了一个连续的分布函数一定是一致连续的。