正交矩阵例题解析：详解如何求解正交矩阵

正交矩阵是一种特殊的方阵，其每一行和每一列都是单位向量，且互相垂直。正交矩阵在数学中有广泛的应用，特别是在线性代数和物理学中。下面给出一个正交矩阵的例题及解析：

例题：给定矩阵 A = [1, 2; 2, -1]，求它的正交矩阵 Q。

解析：

首先，我们需要求出矩阵 A 的特征值和特征向量。计算可得：

det(A - λI) = (1 - λ)(-1 - λ) - 4 = λ^2 - 2λ - 5 = 0

解得 λ1 = 1 + √6，λ2 = 1 - √6。对应的特征向量分别为：

v1 = [1; (1 + √6)/2]，v2 = [1; (1 - √6)/2]

将特征向量单位化，得到：

u1 = [1/√(1 + 6/4); (1 + √6)/(2√(1 + 6/4))] ≈ [0.3714; 0.9285]

u2 = [1/√(1 + 6/4); (1 - √6)/(2√(1 + 6/4))] ≈ [0.9285; -0.3714]

将 u1 和 u2 合并成一个矩阵 Q，即可得到正交矩阵：

Q = [0.3714, 0.9285; 0.9285, -0.3714]

验证一下 Q 是否是正交矩阵。根据定义，正交矩阵 Q 满足 Q^TQ = I，其中 Q^T 为 Q 的转置，I 为单位矩阵。计算可得：

Q^TQ ≈ [1, 0; 0, 1]

因此，Q 是正交矩阵。

总结：

正交矩阵在数学中有广泛的应用，例如在线性代数、物理学和计算机图形学中。求一个矩阵的正交矩阵，可以先求出其特征值和特征向量，再将特征向量单位化并合并成一个矩阵即可。最后，需要验证求出的矩阵是否满足正交矩阵的定义。