证明：随机变量序列上确界为有限值，则其也是随机变量

首先需要明确一个概念：supremum（上确界）。对于一个集合 S，它的上确界是指 S 中所有元素的上界中最小的一个，用符号表示为 sup(S)。

接下来进行证明：

设 supn Xn = M，即 Xn ≤ M 对于所有的 n 都成立。

我们需要证明的是，M 也是一个随机变量。

根据随机变量的定义，对于任意一个实数 x，事件 {M ≤ x} 是一个事件，即 M 是一个随机变量，当且仅当对于每一个实数 x，事件 {M ≤ x} 都属于样本空间的 σ-代数。

考虑事件 {M ≤ x}，它等价于事件 {supn Xn ≤ x}。根据上确界的定义，对于任意的 n，都有 Xn ≤ supn Xn = M，因此有：

{supn Xn ≤ x} ⊇ {Xn ≤ x}，对于所有的 n

因此，事件 {supn Xn ≤ x} 是事件 {Xn ≤ x} 的超集，即：

{Xn ≤ x} ⊆ {supn Xn ≤ x}

因此，任意一个 Xn ≤ x 的事件都可以表示为 supn Xn ≤ x 的事件，即：

{Xn ≤ x} = {supn Xn ≤ x}

因此，对于任意实数 x，事件 {M ≤ x} 是样本空间的 σ-代数中的一个事件，因此 M 是一个随机变量。

综上所述，如果 supn Xn 有限，则它也是一个随机变量。