求由曲面 (x²+y²)²+z⁴=y 围成的立体的体积

要计算由曲面'(x²+y²)²+z⁴=y' 所围成的立体的体积，可以使用三重积分来求解。

首先，我们需要确定积分的边界。观察曲面方程可知，它在z轴的正半轴上对称，因此我们可以只考虑z大于等于0的那一部分。另外，由于x²+y²的范围不受限制，我们可以将积分范围设为整个平面。

然后，我们可以将体积表示为以下积分形式：

V = ∬'(x²+y²)²+z⁴' dy dx

将曲面方程中的y移至左侧，我们可以得到：

y - (x²+y²)² = z⁴

整理可得：

y = z⁴ + (x²+y²)²

现在，我们可以将y的范围设为0到z⁴ + (x²+y²)²，并将x和y的范围设为整个平面。因此，可以将积分范围设为：

0 ≤ y ≤ z⁴ + (x²+y²)² -∞ ≤ x ≤ ∞ -∞ ≤ y ≤ ∞

现在，我们可以进行积分计算。首先，我们对y进行积分，将x和z视为常量：

∫[0, z⁴ + (x²+y²)²] dy = z⁴ + (x²+y²)²

然后，我们对x进行积分，将z视为常量：

∫[-∞, ∞] (z⁴ + (x²+y²)²) dx = 2πz⁴

最后，我们对z进行积分，将z视为可变：

∫[0, ∞] 2πz⁴ dz = 2π/5 * ∞⁵ = ∞

由于结果是无穷大，说明该曲面所围成的立体的体积也是无穷大。这是因为曲面是一个没有边界的无限大曲面，所以它所围成的体积也没有限制。