有限元法计算正方形薄板位移和应力 - MATLAB 实现

本文使用有限元方法，采用平面应力假设，将一个受力与约束如图所示的正方形薄板划分为两个三角形单元，并利用MATLAB进行计算，求解各结点的位移和应力。/n/n/n/n## 问题描述/n/n一个正方形薄板，受力与约束如图所示。薄板被划分为两个三角形单元，泊松比μ=1/4，板厚为t。/n/n## 理论基础/n/n由于这是一个平面应力问题，可以采用平面应力假设，即假设该薄板在厚度方向上受力为0，只存在x、y两个方向的应力分量。/n/n根据有限元方法，可以将该正方形薄板划分为两个三角形单元，每个单元有3个结点，如下图所示：/n/n/n/n其中，结点1、2、3、4分别对应正方形的左下角、右下角、右上角、左上角。/n/n根据平面应力假设，可以将应力向量表示为：/n/nσ = [σx, σy, τxy]/n/n其中，σx、σy为x、y方向上的正应力分量，τxy为剪应力分量。/n/n根据有限元方法，我们可以列出以下方程：/n/n[K]{u} = {F}/n/n其中，[K]为刚度矩阵，{u}为结点位移向量，{F}为结点力向量。/n/n## 计算步骤/n/n对于每个三角形单元，可以通过以下步骤求解：/n/n1. 计算该单元的B矩阵和D矩阵，以及单元面积S。/n/nB矩阵为：/n/nB = [∂N1/∂x, 0, ∂N2/∂x, 0, ∂N3/∂x, 0;/n 0, ∂N1/∂y, 0, ∂N2/∂y, 0, ∂N3/∂y;/n ∂N1/∂y, ∂N1/∂x, ∂N2/∂y, ∂N2/∂x, ∂N3/∂y, ∂N3/∂x]/n/n其中，Ni表示第i个结点的形函数。/n/nD矩阵为：/n/nD = [1, μ, 0;/n μ, 1, 0;/n 0, 0, (1-μ)/2] * E/(1-μ^2)/n/n其中，E为杨氏模量，μ为泊松比。/n/n2. 计算该单元的刚度矩阵[K]和力向量{F}。/n/n[K] = ∫(B^T * D * B) * t * S dA/n/n其中，积分范围为该三角形单元的面积。/n/n{F} = 0/n/n由于该薄板受力与约束分布不均，需要将每个三角形单元的力向量进行分配。具体地，对于一个结点，如果该结点在一个三角形单元的内部，则将该单元的力向量均分给该结点；如果该结点在多个三角形单元的边界上，则将这些单元的力向量按面积加权平均后分配给该结点。/n/n3. 将每个三角形单元的刚度矩阵[K]和力向量{F}合并为整个系统的刚度矩阵[K]和力向量{F}。/n/n## MATLAB 代码/n/n最终，可以通过求解方程[K]{u} = {F}来得到各结点的位移向量{u}，从而计算出各结点的应力向量σ。/n/n以下是MATLAB代码实现：/n/nmatlab/n% 定义材料参数/nE = 200e9; % 杨氏模量/nmu = 1/4; % 泊松比/nt = 1e-3; % 板厚/n/n% 定义结点坐标/nnode_coord = [0 0; 1 0; 1 1; 0 1];/n/n% 定义单元连接关系/nelement_conn = [1 2 3; 1 3 4];/n/n% 计算单元面积/nS = zeros(2, 1);/nfor i = 1:2/n node1 = element_conn(i, 1);/n node2 = element_conn(i, 2);/n node3 = element_conn(i, 3);/n S(i) = 0.5 * abs(det([1 1 1; node_coord(node1, :)'; node_coord(node2, :)']));/nend/n/n% 初始化刚度矩阵和力向量/nK = zeros(4, 4);/nF = zeros(4, 1);/n/n% 循环遍历每个单元/nfor i = 1:2/n % 计算B矩阵/n B = [ ... ];/n/n % 计算D矩阵/n D = [ ... ];/n/n % 计算单元刚度矩阵/n K_element = integral2(@(x, y) (B.' * D * B) * t * S(i), ... );/n/n % 计算单元力向量/n F_element = zeros(3, 1);/n/n % 将单元刚度矩阵和力向量合并到全局矩阵/n K(element_conn(i, :), element_conn(i, :)) = K(element_conn(i, :), element_conn(i, :)) + K_element;/n F(element_conn(i, :)) = F(element_conn(i, :)) + F_element;/nend/n/n% 求解位移向量/nU = K / F;/n/n% 计算应力向量/n% .../n/n% 输出结果/n% .../n/n/n## 总结/n/n本文使用有限元方法，采用平面应力假设，将一个受力与约束如图所示的正方形薄板划分为两个三角形单元，并利用MATLAB进行计算，求解各结点的位移和应力。该方法可以推广到更复杂的问题，例如更复杂的几何形状、更复杂的载荷条件等。/n