严格单调函数: 定义、类型及示例

在数学中，一个函数被称为**严格单调(strictly monotonic)**意味着它在其定义域中的任意两个不同的输入值对应的输出值是不同的，并且它的增减性保持一致。

严格单调可以分为两种类型：严格递增和严格递减。

严格递增函数: 如果对于任意两个不同的输入值 x1 和 x2，当 x1 < x2 时，对应的函数值 f(x1) < f(x2)，则称该函数为严格递增函数。* 严格递减函数: 如果对于任意两个不同的输入值 x1 和 x2，当 x1 < x2 时，对应的函数值 f(x1) > f(x2)，则称该函数为严格递减函数。

为了帮助理解，以下是一些严格递增和严格递减函数的示例：

1. 严格递增函数示例:

函数 f(x) = x + 2 是一个严格递增函数。无论选择任意不同的 x1 和 x2，只要 x1 < x2，对应的函数值 f(x1) 必定小于 f(x2)。例如，当 x1 = 2，x2 = 5 时，f(2) = 4，f(5) = 7，可以观察到 4 < 7。 * 函数 f(x) = e^x(e 为自然对数的底数) 也是一个严格递增函数。对于任意不同的 x1 和 x2，只要 x1 < x2，对应的函数值 f(x1) 必定小于 f(x2)。这个函数的特点是随着 x 的增加，函数值呈指数增长。

2. 严格递减函数示例:

函数 f(x) = -x 是一个严格递减函数。无论选择任意不同的 x1 和 x2，只要 x1 < x2，对应的函数值 f(x1) 必定大于 f(x2)。例如，当 x1 = 3，x2 = 7 时，f(3) = -3，f(7) = -7，可以观察到 -3 > -7。 * 函数 f(x) = 1/x(x ≠ 0) 也是一个严格递减函数。对于任意不同的 x1 和 x2，只要 x1 < x2，对应的函数值 f(x1) 必定大于 f(x2)。这个函数的特点是随着 x 的增加，函数值呈倒数的减小。

总结: 严格单调性描述了函数的增减趋势是否始终保持一致，且函数在定义域的不同输入值对应的输出值是不同的。