可测集的测度和外侧度是否相等？

这是一个常见的疑问，答案取决于具体的集合和测度空间。对于一般的集合，其外测度和测度不一定相等。例如，考虑实数轴上的Lebesgue外测度，一个非测度集合的外侧度为正无穷，而其测度为0。

然而，对于Lebesgue可测集，其外测度和测度是相等的。这是因为Lebesgue可测集的定义中已经包含了Carathéodory定理的条件。Carathéodory定理指出，对于一个集合E，其测度定义为其内部近似和与其外部近似和的极限相等，即： m(E) = limn→∞ m*(E_n) 其中，E_n是包含E的开集，m*是Lebesgue外测度。

同样地，外测度也可以定义为其内部近似和与其外部近似和的极限相等，即： m*(E) = limn→∞ m(E_n) 这意味着在Carathéodory定理的条件下，可测集的测度和外侧度是相等的。

因此，对于Lebesgue可测集，其测度和外侧度是相等的。