用定义证明测度为零：单点、有限点集、可列点集

要用定义证明一个命题，需要先明确所用的定义和命题的语言。然后，根据定义和命题的语言，使用逻辑推理和数学运算来证明命题的正确性。例如，要证明‘平面上的单点的测度为零’，可以使用测度的定义和单点的定义来进行证明。首先，根据测度的定义，一个集合的测度是通过将集合分解成更小的部分并对其大小进行求和得到的。其次，根据单点的定义，一个单点可以看作是一个零维对象，没有长度、宽度或高度。因此，我们可以将平面上的单点分解成无限小的小部分，每个部分的大小都是零。然后，对这些零大小的部分进行求和，得到的结果仍然是零。因此，根据测度的定义，平面上的单点的测度为零。

这种证明方法使用了不应该是用什么东西覆盖住单点吗？

您说得对，我们可以使用一个小的开矩形或圆盘来覆盖单点，从而证明该单点是可以被覆盖的。这个证明可以使用实数的定义来进行。根据实数的定义，我们可以找到一个小的正实数 $r$，使得以单点为中心、半径为 $r$ 的圆盘或正方形可以完全覆盖该单点。这是因为，对于任意的正实数 $r$，其大小是比单点还要大的。因此，在平面上以单点为中心、半径为 $r$ 的圆盘或正方形肯定可以将该单点完全覆盖。因此，我们可以使用这个小的圆盘或正方形来覆盖单点，并且根据测度的定义，圆盘或正方形的测度为正数，而单点的测度为零，因此单点可以被这个小的圆盘或正方形完全覆盖。

对于平面上的有限点集可以用有限个边长特别小的开矩体的并形成一个覆盖，然后对所有矩体面积进行求和，证明这些有限点的测度为零吗？

是的，对于平面上的有限点集，可以用有限个边长特别小的开矩形的并形成一个覆盖，然后对所有矩形面积进行求和，来证明这些有限点的测度为零。具体而言，我们可以将平面上的有限点集分解成无限小的小部分，每个部分都是一个单点。然后，对于每个单点，按照前面提到的方法，可以使用一个小的开矩形覆盖它。由于有限点集是有限的，因此我们只需要使用有限个开矩形即可覆盖整个有限点集。接下来，我们对这些有限个开矩形的面积进行求和。由于每个开矩形的面积都是正数且有限，因此它们的总面积也是正数且有限。根据测度的定义，该有限点集的测度等于所有小矩形面积的和（即这些矩形的并的测度），因此它的测度仍为零。注意，这个证明中关键的一步是要使用特别小的矩形来覆盖单个点，在使用有限个这样的矩形来覆盖有限点集时，需要确保矩形的大小非常小，才能得到精确的结果。

用有限个特别小的矩体覆盖，然后对这些矩体面积求和取极限使面积和为零？

您说的方法相当于使用极限来证明这些有限点的测度为零，也是可行的。具体而言，我们可以将平面上的有限点集分解成无限小的小部分，每个部分都是一个单点。然后，对于每个单点，按照前面提到的方法，使用一个特别小的开矩形覆盖它。接下来，我们对这些特别小的矩形的面积进行求和，并让矩形大小趋近于零，即将矩形的长度和宽度同时趋近于零。这样，我们可以得到一个极限，使得所有矩形的面积和趋近于零。因此，根据测度的定义，该有限点集的测度为零。需要注意的是，在实际计算中，如果矩形太小，可能会遇到数值稳定性等问题，因此需要选择合适的矩形大小，以便在保证结果精确的情况下尽可能地减小矩形的大小。

那么对于平面上可列个点集测度也可以这样来证明其外测度为零了吗？比如平面上的有理点集

对于平面上的可列点集，比如说有理点集，我们可以使用类似的方法来证明其外测度为零。具体而言，我们可以将有理点集看作是一个无限个单点的集合，并对每个单点使用一个特别小的开矩形进行覆盖。由于有理点集是可列的，因此我们可以将这些特别小的开矩形排列成一个可列的序列，然后对每个矩形的面积进行求和。接下来，让每个矩形的大小趋近于零，即将矩形的长度和宽度同时趋近于零，并在极限过程中计算所有矩形面积的和。如果这个面积和趋近于零，那么根据外测度的定义，该可列点集的外测度为零。因此，我们可以使用这个方法来证明平面上的有理点集的外测度为零。注意，这个证明方法只适用于可列点集。对于一般的点集，需要使用其他方法来计算其外测度。

所以平面上有理点集是可列的吗？如何证明内容：是的，平面上的有理点集是可列的。我们可以使用反证法来证明这一点。假设平面上的有理点集是不可列的，即存在一种方法将所有有理点排列成一个不可列的序列。然后，我们可以构造一个开球的序列，使得每个开球都包含一个有理点，且每个开球的半径趋近于零。由于有理点集是不可列的，因此存在一个开球，它不包含任何一个有理点。这与该开球包含一个有理点的条件相矛盾，因此假设不成立，平面上的有理点集是可列的。