交流电路中电容器电流有效值计算 - 详细步骤及公式

首先，我们可以通过欧姆定律和交流电路中的阻抗公式计算出电路中的电流：

$$\I=\frac{U}{Z}=\frac{U}{\frac{1}{j\omega C}}=j\omega CU=j100\pi\times20\times10^{-6}\times100\sqrt{2}\sin\left(100\pi t-\frac{2}{3}\right)$$

其中，$\omega=2\pi f=100\pi$为角频率，$C=20\mu F$为电容器的电容量，$U=100\sqrt{2}\ V$为电源电压。

接下来，我们需要求出电流的有效值，即：

$$\I_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T I^2(t)dt}$$

其中，$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{100}=0.01s$为电路的周期。

将电流表达式代入上式，得到：

$$\begin{aligned}\I_{\text{rms}}&=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T I^2(t)dt}\&=\sqrt{\frac{1}{0.01}\int_0^{0.01} |j100\pi\times20\times10^{-6}\times100\sqrt{2}\sin\left(100\pi t-\frac{2}{3}\right)|^2 dt}\&=\sqrt{\frac{1}{0.01}\int_0^{0.01} (100\pi\times20\times10^{-6}\times100\sqrt{2})^2\sin^2\left(100\pi t-\frac{2}{3}\right) dt}\&=\sqrt{2\pi^2\times20^2\times10^{-12}\times100^2}=2\sqrt{2}\times10^{-3}\ A\end{aligned}$$

因此，电容器中电流的有效值为$2\sqrt{2}\times10^{-3}\ A$。