MATLAB实现矩阵Hessenberg化及Givens变换求特征值

本文介绍如何使用MATLAB将矩阵转换为上Hessenberg形式，并结合Givens旋转进行QR分解，最终高效地计算矩阵特征值。

1. Hessenberg化

Hessenberg矩阵是指主对角线下方的元素几乎都为零的矩阵。将一般矩阵转换为Hessenberg形式可以简化特征值计算。

代码实现：

function H = hessenberg(A)
% 将矩阵A化为上Hessenberg矩阵
  n = size(A,1);
  for k = 1:n-2
    % 构造Householder矩阵
    x = A(k+1:n,k);
    v = [sign(x(1))*norm(x); zeros(n-k-1,1)];
    v = v + x;
    v = v/norm(v);
    % 对A进行相似变换
    A(k+1:n,k:n) = A(k+1:n,k:n) - 2*v*(v'*A(k+1:n,k:n));
    A(1:n,k+1:n) = A(1:n,k+1:n) - 2*(A(1:n,k+1:n)*v)*v';
  end
  H = triu(A,-1);
end

2. Givens旋转求特征值

Givens旋转是一种正交变换，可以用于将矩阵逐步约化为对角矩阵，从而求解特征值。

代码实现：

% 生成一个随机矩阵
A = rand(6);
% 将矩阵hessenberg化
H = hessenberg(A);
% 初始化Q和R矩阵
Q = eye(size(H));
R = H;
% 进行givens变换求特征值
while abs(R(end-1,end)) > eps
  % 构造givens矩阵
  [G,~] = planerot(R(end-1:end,end-1));
  % 对R和Q进行相似变换
  R(end-1:end,:) = G*R(end-1:end,:);
  R(:,end-1:end) = R(:,end-1:end)*G';
  Q(:,end-1:end) = Q(:,end-1:end)*G';
end
% 矩阵特征值
eigvals = diag(R);
disp(eigvals)

代码解释：

首先利用 hessenberg 函数将矩阵转换为上Hessenberg形式。
使用Givens旋转对Hessenberg矩阵进行QR分解，迭代直至R矩阵的次对角线元素小于预设精度 eps。
最终，R矩阵的对角线元素即为原矩阵的特征值。

3. 总结

本文介绍了使用MATLAB实现矩阵Hessenberg化和Givens旋转求解特征值的方法，并提供了详细的代码示例和解释。该方法数值稳定性好，适合处理中等规模的矩阵。