Givens 变换求解矩阵特征值 MATLAB 代码详解

本文提供一个使用 Givens 变换求解矩阵特征值的 MATLAB 代码示例，并详细解释了代码逻辑，同时包含使用示例和结果验证。

代码实现

function [eigvals, eigvecs] = givens_eig(A, tol)
% Givens 变换求解矩阵特征值
% 输入参数：
%   A: 待求解的矩阵
%   tol: 迭代收敛精度，默认为 1e-6
% 输出参数：
%   eigvals: 矩阵的特征值
%   eigvecs: 矩阵的特征向量

if nargin < 2
    tol = 1e-6;
end

n = size(A, 1);
eigvals = zeros(n, 1);
eigvecs = eye(n);

for k = 1:n-1
    % 使用 Givens 变换将 A(k+1:n,k) 变为 0
    for i = k+1:n
        if abs(A(i,k)) < tol
            continue;
        end
        [c, s] = givens(A(k,k), A(i,k));
        A([k,i],k:end) = [c s; -s c]' * A([k,i],k:end);
        A(k:end,[k,i]) = A(k:end,[k,i]) * [c s; -s c];
        eigvecs(:,[k,i]) = eigvecs(:,[k,i]) * [c s; -s c];
    end
    
    % 检查是否已经对角化
    if norm(A(k+1:end,k)) < tol
        eigvals(k) = A(k,k);
        continue;
    end
    
    % 使用 Givens 变换将 A(k,k+1:n) 变为 0
    for j = k+1:n
        if abs(A(k,j)) < tol
            continue;
        end
        [c, s] = givens(A(k,k), A(k,j));
        A(k:end,[k,j]) = A(k:end,[k,j]) * [c s; -s c];
        A(k,k+1:n) = 0;
        eigvecs(:,[k,j]) = eigvecs(:,[k,j]) * [c s; -s c];
    end
    
    % 检查是否已经对角化
    if norm(A(k,k+1:end)) < tol
        eigvals(k) = A(k,k);
    end
end

% 处理最后一个特征值
eigvals(end) = A(end,end);

end

function [c, s] = givens(a, b)
% 计算 Givens 变换矩阵
if b == 0
    c = 1;
    s = 0;
else
    if abs(b) > abs(a)
        tau = -a/b;
        s = 1 / sqrt(1 + tau^2);
        c = s * tau;
    else
        tau = -b/a;
        c = 1 / sqrt(1 + tau^2);
        s = c * tau;
    end
end
end

代码解释

该代码使用 Givens 变换将矩阵 A 对角化，从而得到矩阵的特征值和特征向量。代码主要分为两个部分：

givens_eig 函数: 该函数实现 Givens 变换求解矩阵特征值的核心逻辑。
- 函数首先将矩阵 A 初始化，并设置迭代精度 tol。
- 然后，使用两层循环遍历矩阵 A，将非对角线元素逐个消除。
- 在每一轮循环中，计算 Givens 变换矩阵并对 A 和特征向量矩阵进行相应的变换。
- 最后，将对角线元素作为特征值，并返回特征值和特征向量矩阵。
givens 函数: 该函数计算 Givens 变换矩阵。
- 函数首先判断 b 是否为 0。如果是，则直接返回 c=1 和 s=0。
- 否则，根据 a 和 b 的大小关系计算 tau，并根据 tau 计算 c 和 s。

使用示例

% 生成一个对称正定矩阵
n = 5;
A = rand(n);
A = A + A.';
A = A + n * eye(n);

% 使用 Givens 变换求解特征值
[eigvals, eigvecs] = givens_eig(A);

% 比较结果与 MATLAB 自带函数
eigvals_matlab = eig(A);
assert(norm(sort(eigvals) - sort(eigvals_matlab)) < 1e-6);

结果验证

该示例代码首先生成一个随机对称正定矩阵 A，然后使用 givens_eig 函数求解特征值和特征向量。最后，将求解结果与 MATLAB 自带的 eig 函数计算结果进行比较，验证结果的正确性。

总结

本文提供了一个使用 Givens 变换求解矩阵特征值的 MATLAB 代码示例，并对代码进行了详细的解释。该代码可以帮助读者理解 Givens 变换的原理，并将其应用于实际问题。