MATLAB线性代数实验指导书

实验一：行列式

实验目的：

1. 了解行列式的定义和性质；
2. 掌握计算行列式的方法；
3. 熟悉行列式的应用。

实验原理：

1. 行列式是一个标量，用于描述一个矩阵的性质。
2. 行列式的定义：

对于一个n阶方阵A=(a_ij)，它的行列式定义为：

det(A)=|A|=∑(-1)^(i+j)a_ijM_ij

其中，M_ij是a_ij的余子式，即去掉第i行和第j列后剩下的矩阵的行列式。

3. 行列式的性质：

   (1) 若A的某一行（列）全为0，则det(A)=0； (2) 若A的某两行（列）成比例，则det(A)=0； (3) 若A的某一行（列）与另一行（列）相等，则det(A)=0； (4) 若A的两行（列）交换，则det(A)变号； (5) 若A的某一行（列）乘以k，则det(A)乘以k； (6) 若A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，则det(A)不变。

实验步骤：

1. 打开MATLAB软件，新建一个脚本文件。
2. 定义一个3阶方阵A，计算它的行列式。
3. 验证行列式的性质： (1) 将A的第一行变为0，计算行列式； (2) 将A的第一行加上第二行的2倍，计算行列式； (3) 将A的第一行与第二行交换，计算行列式； (4) 将A的第一行乘以2，计算行列式； (5) 将A的第一行与第二行相等，计算行列式。
4. 定义一个4阶方阵B，计算它的行列式。
5. 验证行列式的性质： (1) 将B的第一列变为0，计算行列式； (2) 将B的第一列加上第二列的2倍，计算行列式； (3) 将B的第一列与第二列交换，计算行列式； (4) 将B的第一列乘以2，计算行列式； (5) 将B的第一列与第二列成比例，计算行列式。

实验结果：

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实验二：线性方程组

实验目的：

1. 了解线性方程组的概念和解的存在性；
2. 掌握利用MATLAB求解线性方程组的方法；
3. 熟悉线性方程组的应用。

实验原理：

1. 线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
2. 线性方程组的一般形式：

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2 ... am1x1+am2x2+...+amnxn=bm

其中，a_ij和b_i为已知数，x_i为未知数。

3. 线性方程组的解的存在性： (1) 无解：当系数矩阵A的秩rank(A)不等于增广矩阵[A|b]的秩rank([A|b])时，方程组无解。 (2) 有唯一解：当系数矩阵A的秩rank(A)等于增广矩阵[A|b]的秩rank([A|b])时，方程组有唯一解。 (3) 有无穷多解：当系数矩阵A的秩rank(A)等于增广矩阵[A|b]的秩rank([A|b])且rank(A)小于未知数的个数n时，方程组有无穷多解。
4. MATLAB求解线性方程组的方法： (1) 使用''符号求解。 (2) 使用inv函数求解。 (3) 使用linsolve函数求解。

实验步骤：

1. 打开MATLAB软件，新建一个脚本文件。
2. 定义一个3元一次方程组，使用''符号求解。
3. 定义一个3元一次方程组，使用inv函数求解。
4. 定义一个3元一次方程组，使用linsolve函数求解。
5. 定义一个4元一次方程组，使用''符号求解。
6. 定义一个4元一次方程组，使用inv函数求解。
7. 定义一个4元一次方程组，使用linsolve函数求解。

实验结果：

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实验三：正交变换

实验目的：

1. 了解正交变换的概念和性质；
2. 掌握利用MATLAB进行正交变换的方法；
3. 熟悉正交变换的应用。

实验原理：

1. 正交变换是指在保持向量长度不变的情况下，将向量从一个坐标系变换到另一个坐标系。
2. 正交变换的性质： (1) 长度不变：经过正交变换后，向量的长度不变。 (2) 角度不变：经过正交变换后，向量之间的夹角不变。 (3) 正交性：经过正交变换后，向量之间的内积不变。 (4) 行列式为1或-1：正交变换的矩阵的行列式为1或-1。
3. 常见的正交变换有旋转、镜像和投影等。
4. MATLAB进行正交变换的方法： (1) 使用rotx、roty、rotz函数进行三维旋转变换。 (2) 使用reflect函数进行三维镜像变换。 (3) 使用proj函数进行三维投影变换。

实验步骤：

1. 打开MATLAB软件，新建一个脚本文件。
2. 定义一个三维向量，使用rotx、roty、rotz函数进行旋转变换。
3. 定义一个三维向量，使用reflect函数进行镜像变换。
4. 定义一个三维向量，使用proj函数进行投影变换。

实验结果：

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