高等数学 证明题：拉格朗日中值定理应用

以下是一道高等数学证明题的举例：

证明：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，且在 (a,b) 内可导，则存在 ξ ∈ (a,b)，使得 f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

解法：

根据拉格朗日中值定理，对于任意 x ∈ (a,b)，存在 ξ ∈ (a,b)，使得：

f'(ξ)=(f(x)-f(a))/(x-a)

同时，又有：

f'(ξ)=(f(b)-f(x))/(b-x)

将两式相加，并整理得：

f'(ξ)=((x-a)(f(b)-f(a))+(b-x)(f(x)-f(a)))/((b-a)(x-a))

f'(ξ)=(xf(b)-xf(a)-af(b)+af(a)+xbf(x)-xf(a)-bxf(x)+xf(a))/((b-a)(x-a))

f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)+(x(f(x)-f(a))-a(f(b)-f(a))-b(f(x)-f(a)))/((b-a)(x-a))

由于 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，因此 f(x)-f(a) 和 f(x)-f(b) 也连续，且在 x=a 和 x=b 时分别等于 0。根据极限的定义，可以得到：

lim_{x → a} (x(f(x)-f(a))-a(f(b)-f(a))-b(f(x)-f(a)))/((b-a)(x-a))=0

lim_{x → b} (x(f(x)-f(a))-a(f(b)-f(a))-b(f(x)-f(a)))/((b-a)(x-a))=0

因此，当 x → a 或 x → b 时，(x(f(x)-f(a))-a(f(b)-f(a))-b(f(x)-f(a)))/((b-a)(x-a)) 的极限等于 0。因此，当 x → a 或 x → b 时，f'(ξ) 的极限等于 (f(b)-f(a))/(b-a)。

由于 f(x) 在 (a,b) 内可导，因此 f'(ξ) 在 (a,b) 内连续。根据连续函数的介值定理，存在 ξ ∈ (a,b)，使得 f'(ξ) 等于 (f(b)-f(a))/(b-a)。因此，命题得证。