微分中值定理习题详解 - 证明函数在区间内满足定理

微分中值定理习题详解 - 证明函数在区间内满足定理

本文将详细讲解微分中值定理的应用，并通过三个实例证明函数在特定区间内满足该定理。

1. 证明函数 f(x) = x³-3x+1 在区间 [-1,1] 内满足微分中值定理。

解：根据微分中值定理，存在 c∈(-1,1)，使得 f'(c) = (f(1)-f(-1))/(1-(-1)) = ((1)³-3(1)+1-(-1)³+3(-1)+1)/2 = 0。

又因为 f''(x) = 6x-3，当 x<0 时 f''(x)<0，当 x>0 时 f''(x)>0，因此 c=0 是 f'(x) 的唯一零点。

故函数 f(x) = x³-3x+1 在区间 [-1,1] 内满足微分中值定理。

2. 证明函数 f(x) = sin x 在区间 [0,π/2] 内满足微分中值定理。

解：根据微分中值定理，存在 c∈(0,π/2)，使得 f'(c) = (f(π/2)-f(0))/(π/2-0) = (sinπ/2-sin 0)/(π/2) = 1。

又因为 f''(x) = -sin x，当 x∈(0,π/2) 时 f''(x)<0，因此 c 是 f'(x) 的唯一零点。

故函数 f(x) = sin x 在区间 [0,π/2] 内满足微分中值定理。

3. 证明函数 f(x) = ln x 在区间 [1,2] 内满足微分中值定理。

解：根据微分中值定理，存在 c∈(1,2)，使得 f'(c) = (f(2)-f(1))/(2-1) = ln 2 - ln 1 = ln 2。

又因为 f''(x) = -1/x²，当 x∈(1,2) 时 f''(x)<0，因此 c 是 f'(x) 的唯一零点。

故函数 f(x) = ln x 在区间 [1,2] 内满足微分中值定理。