梯形中线段长度关系证明：利用中位线和菱形性质

问题： 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=40°，∠C=50°，点E,F,M,N分别为四条边的中点，求证：BC=EF+MN。

证明：

计算角度:
- 因为AD∥BC，所以∠ADC=180°-∠BCD=180°-50°=130°。
- 又因为梯形ABCD中，∠A+∠D=180°，所以∠A=50°，∠D=130°。

连接中点，构造辅助线: 连接AE、BF、CM、DN，如下图所示：

[asy]
pair A,B,C,D,E,F,M,N;
A=(0,0);
B=(3,0);
C=(2.2,1.8);
D=(0.8,1.8);
E=(A+D)/2;
F=(B+C)/2;
M=(C+D)/2;
N=(A+B)/2;
draw(A--B--C--D--cycle);
draw(A--E);
draw(B--F);
draw(C--M);
draw(D--N);
label('$A$',A,SW);
label('$B$',B,SE);
label('$C$',C,NE);
label('$D$',D,NW);
label('$E$',E,W);
label('$F$',F,E);
label('$M$',M,NE);
label('$N$',N,NW);
[/asy]

证明三角形全等:
- 因为AE∥CD，所以∠AED=∠DCM。
- 又因为AD∥BC，所以∠AED=∠BFC。
- 因此∠DCM=∠BFC。
- 同理，我们可以得到∠CDM=∠BEF。
- 因此三角形CDM与三角形BEF全等(AAS)。
利用全等三角形和菱形性质:
- 由三角形CDM≌三角形BEF，可得CM=BF，DM=EF，且∠CMD=∠BFE=90°。
- 因此四边形EFMC是一个菱形，EF=CM。
- 同理，我们可以得到四边形ABDN是一个菱形，MN=AB。
最终证明:
- BC=AD-AB=2AD-2MN=2(AE+ED)-2AB=2EF+2MN=EF+MN。

因此，命题得证。