牛顿差值多项式 - 用四阶多项式拟合数据点

对于给定的数据点 (x=1, f(x)=1), (x=2, f(x)=4), (x=3, f(x)=7), (x=4, f(x)=8), (x=5, f(x)=6)，我们可以使用四阶牛顿差值多项式来拟合这些数据。

首先，我们计算差商表：

| x | f(x) | |------|--------| | 1 | 1 | | 2 | 4 | | 3 | 7 | | 4 | 8 | | 5 | 6 |

第一阶差商表： | x | f(x) | Δf(x) | |------|--------|--------| | 1 | 1 | | | 2 | 4 | 3 | | 3 | 7 | 3 | | 4 | 8 | 1 | | 5 | 6 | -2 |

第二阶差商表： | x | f(x) | Δf(x) | Δ²f(x) | |------|--------|--------|--------| | 1 | 1 | | | | 2 | 4 | 3 | | | 3 | 7 | 3 | 0 | | 4 | 8 | 1 | -2 | | 5 | 6 | -2 | -3 |

第三阶差商表： | x | f(x) | Δf(x) | Δ²f(x) | Δ³f(x) | |------|--------|--------|--------|--------| | 1 | 1 | | | | | 2 | 4 | 3 | | | | 3 | 7 | 3 | 0 | | | 4 | 8 | 1 | -2 | -1 | | 5 | 6 | -2 | -3 | 1 |

第四阶差商表： | x | f(x) | Δf(x) | Δ²f(x) | Δ³f(x) | Δ⁴f(x) | |------|--------|--------|--------|--------|--------| | 1 | 1 | | | | | | 2 | 4 | 3 | | | | | 3 | 7 | 3 | 0 | | | | 4 | 8 | 1 | -2 | -1 | | | 5 | 6 | -2 | -3 | 1 | 1 |

通过差商表，我们可以得到四次牛顿差值多项式：

f(x) = 1 + 3(x-1) + 0(x-1)(x-2) - 2(x-1)(x-2)(x-3) + 1(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

对于 x=1,2,3,4,5，代入上述多项式可以得到相应的 f(x) 值。