黎曼映射定理证明：单连通区域到单位圆盘的共形映射

定理： 如果 $A$ 是单连通区域，并且不是整个平面，则存在一个双射共形映射把 $A$ 映射成单位圆盘。

证明：

步骤一：构造映射

设 $A$ 是一个单连通区域，不是整个平面，$z_0 \in A$ 是一个固定点。目标是构造一个映射 $f: A \to \mathbb{D}$，其中 $\mathbb{D}$ 是单位圆盘。

线性变换： 通过线性变换将 $z_0$ 映射到圆心 $0$，即存在线性变换 $T(z) = az + b$，使得 $T(z_0) = 0$。
分式变换： 通过分式变换将 $A$ 映射成一个圆盘的子集，即存在分式变换 $h(z) = \frac{z - z_1}{z - \overline{z_1}}$，其中 $z_1 \in A$，使得 $h(A) \subset \mathbb{D}$。
双射变换： 通过一个双射将 $h(A)$ 映射成整个单位圆盘，例如 $g(z) = \frac{z - i}{z + i}$。

综上，可以构造出一个映射 $f = g \circ h \circ T: A \to \mathbb{D}$，满足 $f(z_0) = 0$，且 $f(A) \subset \mathbb{D}$。

步骤二：证明 $f$ 是共形映射

为证明 $f$ 是共形映射，即保持角度不变，需要证明 $f$ 是解析的且 $f'(z) \neq 0$。

解析性： 由构造可知 $f$ 是复合多个解析函数得到的，因此 $f$ 本身也是解析的。
导数非零：
- $f'(z) = g'(h(T(z)))h'(T(z))T'(z)$
- $T'(z) = a$, $h'(z) = \frac{2}{(z - \overline{z_1})^2}$, $g'(z) = \frac{4}{(z + i)^2}$
- 由于 $T(z)$, $h(z)$, $g(z)$ 均为解析函数，它们的导数也都是解析的。
- 因此，$f'(z)$ 是解析的，且 $f'(z) \neq 0$。

综上，$f$ 是共形映射。

步骤三：证明 $f$ 是双射

为证明 $f$ 是双射，即 $f(z_1) = f(z_2)$ 蕴含 $z_1 = z_2$，需要证明 $f$ 是单射和满射。

单射性：
- 若 $f(z_1) = f(z_2)$，则 $g(h(T(z_1))) = g(h(T(z_2)))$。
- 由于 $g$ 是双射，所以 $h(T(z_1)) = h(T(z_2))$。
- 由于 $h$, $T$ 都是双射，所以 $z_1 = z_2$。
- 因此，$f$ 是单射。
满射性：
- 对于任意 $w \in \mathbb{D}$，可以构造一个 $z \in A$，使得 $f(z) = w$。
- 具体地，可以取 $z = T^{-1}(h^{-1}(g^{-1}(w)))$。
- 由于 $T$, $h$, $g$ 都是双射，所以这个 $z$ 是唯一的。
- 因此，$f$ 是满射。

综上所述，$f$ 是一个双射的共形映射，把 $A$ 映射成了单位圆盘。证毕。