莫比乌斯变换：圆如何映射成直线或圆？

莫比乌斯变换：圆如何映射成直线或圆？

本文将证明复平面上的莫比乌斯变换将圆映射成一条直线或圆。

证明:

设 $z_0$ 为圆的圆心，$r$ 为圆的半径，则该圆可以表示为 $|z-z_0|=r$。

设 $w=f(z)$ 为一个莫比乌斯变换，即 $w=\frac{az+b}{cz+d}$，其中 $a,b,c,d$ 为复数且 $ad-bc\neq 0$。

则对于任意一个圆上的点 $z$，有：

$$|w-w_0|=\left|\frac{az+b}{cz+d}-\frac{az_0+b}{cz_0+d}\right|=\frac{|(ad-bc)(z-z_0)|}{|cz+d||cz_0+d|}$$

由于 $ad-bc\neq 0$，所以 $|(ad-bc)(z-z_0)|$ 不为零，因此只需要考虑分母的值。

情况一： 如果 $cz+d=0$，则 $w=f(z)$ 为一个奇点，此时 $z$ 不在圆上，因此不需要考虑。

情况二： 如果 $cz+d\neq 0$，则 $|cz+d|\neq 0$，因此：

$$\frac{|w-w_0|}{|cz+d|}=\frac{|ad-bc|}{|cz_0+d|}\cdot\frac{|z-z_0|}{|cz+d|}$$

由于 $|ad-bc|$ 和 $|cz_0+d|$ 都是常数，因此只需要考虑 $\frac{|z-z_0|}{|cz+d|}$ 的值。

如果 $|z-z_0|=r$，则：

$$\frac{|z-z_0|}{|cz+d|}=\frac{r}{|cz+d|}$$

• 如果 $cz+d$ 为实数，则 $\frac{r}{|cz+d|}$ 也为实数，因此 $w=f(z)$ 将圆映射成一条直线。

• 如果 $cz+d$ 不是实数，则 $\frac{r}{|cz+d|}$ 为复数，因此 $w=f(z)$ 将圆映射成一条圆。

综上所述，复平面上的莫比乌斯变换将圆映射成一条直线或者圆。