Möbius 变换：共形变换的证明与性质

为了证明 $f(z)$ 是一个共形变换，我们需要证明它保持角度和保持正则性。

首先证明 $f(z)$ 保持角度。设 $z_1,z_2$ 是复平面上两个不同的点，$w_1=f(z_1),w_2=f(z_2)$。我们需要证明 $\angle z_1z_2 = \angle w_1w_2$。

由于 $f(z)$ 是一个分式线性函数，我们可以将其写成以下形式：

$$f(z) = \frac{a}{c} - \frac{ad-bc}{c(cz+d)}$$

因此，

\begin{align*} \frac{w_2-w_1}{z_2-z_1} &= \frac{\frac{a z_2 + b}{c z_2 + d} - \frac{a z_1 + b}{c z_1 + d}}{z_2 - z_1} \ &= \frac{a (z_2 - z_1)}{(c z_2 + d)(c z_1 + d)} \ &= \frac{a}{c^2} \cdot \frac{(c z_2 + d) - (c z_1 + d)}{z_2 - z_1} \ &= \frac{a}{c^2} \cdot \frac{z_2 - z_1}{c z_2 + d} \cdot \frac{c z_1 + d}{z_2 - z_1} \ &= \frac{a}{c^2} \cdot \frac{(c z_1 + d) - (c z_2 + d)}{z_1 - z_2} \cdot \frac{c z_1 + d}{z_2 - z_1} \ &= \frac{a}{c^2} \cdot \frac{\frac{a z_1 + b}{c z_1 + d} - \frac{a z_2 + b}{c z_2 + d}}{z_1 - z_2} \ &= \frac{w_1-w_2}{\overline{z_1-z_2}} \end{align*}

因此，$\frac{w_2-w_1}{z_2-z_1}$ 和 $\frac{w_1-w_2}{\overline{z_1-z_2}}$ 是一个实数 $r$ 的共轭。这意味着它们具有相同的幅角，即 $\angle z_1z_2 = \angle w_1w_2$。

接下来证明 $f(z)$ 保持正则性。我们需要证明 $f(z)$ 是双全纯的，即它既是全纯的，又有全纯的逆函数。

首先证明 $f(z)$ 是全纯的。由于 $ad-bc\neq 0$，所以 $cz+d\neq 0$ 对于所有 $z$ 都成立。因此，$f(z)$ 是一个除以非零常数的分式函数，它在其定义域内是全纯的。

接下来证明 $f(z)$ 有全纯的逆函数。设 $w=f(z)$，则 $z=f^{-1}(w)$ 可以表示为：

$$z = \frac{dw-b}{-cw+a}$$

因此，$f^{-1}(w)$ 也是一个除以非零常数的分式函数，它在其定义域内是全纯的。

综上所述，$f(z)$ 是一个共形变换，它将复平面上的任意一条直线或圆映射为另一条直线或圆。