复平面共形变换的重要定理与证明

复平面上的共形变换可以表示为 'f(z) = (az + b) / (cz + d)'，其中 'a, b, c, d ∈ ℂ' 且 'ad - bc ≠ 0'。

重要定理：共形变换保持角度不变。

证明：设 'z1, z2' 为任意两个不同的复数，且它们的连线与实轴的夹角为 'θ'。则有：

$$ an θ = rac{ ext{Im}(z2 - z1)}{ ext{Re}(z2 - z1)}$$

将 'z1, z2' 分别代入 'f(z)'，得到 'w1 = f(z1), w2 = f(z2)'。则有：

$$ an θ' = rac{ ext{Im}(w2 - w1)}{ ext{Re}(w2 - w1)} = rac{ ext{Im}[f(z2) - f(z1)]}{ ext{Re}[f(z2) - f(z1)]}$$

将 'f(z)' 的表达式代入上式，化简得：

$$ an θ' = rac{(ad - bc) ext{Im}(z2 - z1)}{|cz2 + d|^2 ext{Re}(z2 - z1)}$$

由于 'ad - bc ≠ 0'，因此 'tan θ' = tan θ'，即共形变换保持角度不变。