一阶方程 Cauchy 问题解的存在性证明

首先将方程化为标准形式： (1) dy/dx = f(x, y) = y/x + x/y

我们可以验证 f(x, y) 在整个平面上连续，并且满足利普希茨条件： |f(x, y1) - f(x, y2)| = |(y1/x + x/y1) - (y2/x + x/y2)| = |(y1 - y2)/x + x(y1 - y2)/(y1y2)| <= |(y1 - y2)/x| + |x(y1 - y2)/(y1y2)| <= |y1 - y2|/|x| + |x||y1 - y2|/(|y1||y2|) <= (|y1 - y2|/|x|)(1 + |x|/|y1y2|) <= (|y1 - y2|/|x|)(1 + |x|/|y1|)(1 + |x|/|y2|) <= (|y1 - y2|/|x|)(1 + |x|/|y0|)(1 + |x|/|y0|)

其中 y0 是 y1 和 y2 中的较大值。因为 y0 的存在性不受 x 的限制，所以上式右端有界。 因此，f(x, y) 满足利普希茨条件。

根据柯西存在定理，当 f(x, y) 在某个矩形区域内连续且满足利普希茨条件时，柯西问题存在唯一解。 我们可以取矩形区域 D 为： D = {(x, y) | |x - x0| <= a, |y - y0| <= b}

其中 a 和 b 是任意正数。

因此，Cauchy 问题的右行解存在于矩形区域 D 内。