Fung 模型：原理、公式推导与应用 | 生物组织力学模型

Fung 模型是一种用于描述生物组织力学特性的模型，它是基于非线性弹性理论的。Fung 模型假设生物组织是各向同性的，即在各个方向上的应力-应变关系相同。Fung 模型的基本假设是生物组织是一个由多个纤维束构成的连续介质，每个纤维束都是由许多平行的纤维组成的。这些纤维在生物组织中的排列方式不同，导致了生物组织在不同方向上的力学性质不同。

Fung 模型的公式推导过程如下：

假设生物组织的应力-应变关系为：

$$\sigma_{ij} = C_{ijkl} \epsilon_{kl}$$

其中，$\sigma_{ij}$ 表示第 $i$ 个方向上的应力，$\epsilon_{kl}$ 表示第 $k$ 个方向上的应变，$C_{ijkl}$ 是生物组织的弹性常数张量。

对于一个各向同性的生物组织，弹性常数张量可以简化为：

$$\C_{ijkl} = \lambda \delta_{ij} \delta_{kl} + \mu (\delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk})$$

其中，$\delta_{ij}$ 是克罗内克符号，表示当 $i=j$ 时为 1，否则为 0；$\lambda$ 和 $\mu$ 分别是 Lamé 常数，它们是弹性常数张量的两个参数。

将上述弹性常数张量代入应力-应变关系中，得到：

$$\sigma_{ij} = \lambda \delta_{ij} \epsilon_{kk} + 2\mu \epsilon_{ij}$$

其中，$\epsilon_{kk}$ 表示应变的迹，即三个方向上的应变之和。

对于一个各向同性的生物组织，应变张量可以表示为：

$$\epsilon_{ij} = \frac{1}{2} (\partial_i u_j + \partial_j u_i)$$

其中，$u_i$ 表示位移向量，$\partial_i$ 表示对 $i$ 方向上的偏导数。

将上述应变张量代入应力-应变关系中，得到：

$$\sigma_{ij} = \lambda \delta_{ij} (\partial_k u_k) + \mu (\partial_i u_j + \partial_j u_i)$$

对于一个各向同性的生物组织，应变张量的迹可以表示为：

$$\epsilon_{kk} = \frac{1}{2} (\partial_i u_i)$$

将上述应变张量的迹代入应力-应变关系中，得到：

$$\sigma_{ij} = (\lambda + \frac{2}{3}\mu) \delta_{ij} (\partial_k u_k) + \mu (\partial_i u_j + \partial_j u_i)$$

上述公式就是 Fung 模型的基本公式。其中，$\lambda$ 和 $\mu$ 是 Fung 模型的两个参数，它们可以通过实验测量得到。Fung 模型可以用来描述生物组织在不同方向上的应力-应变关系，从而帮助研究生物组织的力学性质。