定态中概率流密度与时间无关的证明

在量子力学中，定态是指系统 Hamiltonian 不随时间变化的状态。处于定态的粒子，其概率密度不随时间改变，但概率流密度不一定为零。

证明:

在定态中，波函数的时间演化可以表示为：

$ \Psi(\mathbf{r},t)=\psi(\mathbf{r})e^{-iEt/\hbar} $

其中，$ \psi(\mathbf{r}) $ 是空间部分的波函数，$ E $ 是能量。根据概率流密度的定义：

$ \mathbf{j}(\mathbf{r},t)=\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^) $

将波函数的时间演化代入其中，得到：

$ \mathbf{j}(\mathbf{r},t)=\frac{\hbar}{2mi}(\psi^(\mathbf{r})e^{iEt/\hbar}\nabla\psi(\mathbf{r})-\psi(\mathbf{r})e^{-iEt/\hbar}\nabla\psi^(\mathbf{r})) $

可以看出，时间因子 $ e^{iEt/\hbar} $ 和 $ e^{-iEt/\hbar} $ 相互抵消，因此概率流密度与时间无关：

$ \mathbf{j}(\mathbf{r},t) = \frac{\hbar}{2mi}(\psi^(\mathbf{r})\nabla\psi(\mathbf{r})-\psi(\mathbf{r})\nabla\psi^(\mathbf{r})) = \mathbf{j}(\mathbf{r}) $

结论:

在定态中，概率流密度与时间无关。这意味着，尽管粒子在空间中可能有流动，但这种流动是稳定的，不随时间改变。这也是定态的一个重要特征，即系统的物理性质不随时间而变化。