定态下概率流密度与时间无关的证明

在定态中，波函数不随时间变化，即$\frac{\partial \Psi}{\partial t}=0$。根据概率流密度公式，有：

$\mathbf{j}=\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^)$

对其进行时间偏导数：

$\frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t}=\frac{\hbar}{2mi}\left[\frac{\partial \Psi^}{\partial t}\nabla\Psi+\Psi^\frac{\partial \nabla\Psi}{\partial t}-\frac{\partial \Psi}{\partial t}\nabla\Psi^-\Psi\frac{\partial \nabla\Psi^}{\partial t}\right]$

由于在定态中，$\frac{\partial \Psi}{\partial t}=0$，$\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=0$，因此上式等于零，即$\frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t}=0$。证毕。