保险公司投资与再保险策略的倒推与一阶最优化方法计算

下列是已知条件：考虑下面的离散有限时间T期模型，假设无风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为r_t，风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为R_t， t=0,1,⋯,T-1。假设保险公司的初始财富为w_0，令/u03c0_t表示保险公司在时刻t投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t表示保险公司在时刻t所收取的保费，z_t为其在时刻t所需支出的索赔金额，z_t和R_t相互独立），且假定z_t在各阶段的期望和方差分别为/u03b1_t/，/u03b2_t^2/n用风险暴露值q_t∈[0,+∞)表示保险公司购买比例再保险或获取新业务程度。当q_t∈[0,1]时，对应于购买了一份比例再保险，此时保险公司承担100q_t%比例的风险，再保险公司承担剩下 100(1-q_t )%比例的风险，支付的保费率为/u03b4(q_t)=/u0001(1+/u03b8_t)(1-q_t) /u03b1_t，其中/u03b8_t/为再保险公司的安全负荷系数；当q_t∈[1,+∞)时，对应于保险公司获得新业务。/n财富过程w_{t+1}={/u0001(w_t-/u03c0_t) r_t}+{/u03c0_t R_t}+/ c_t-/u03b4(q_t)-q_t z_t；/n假设无风险资产收益率为r_t为会随时间变化的常数，风险资产收益率为R_t服从均值和方差分别为/u03bc_t/，/u03c3_t^2/的正态分布/n保险公司的决策目标是追求自身终端财富的最大化。假设U(∙)是严格递增严格凹的函数，即U'(∙)>0且U''(∙)<0，表示保险公司的效用函数。定义保险公司在终端时刻T的期望财富效用为J(u)≜E[U(W_T )]；/n保险公司面临的优化问题是选择可行投资与再保险策略u，使得sup┬(u∈Π) J(u)=J(u^* )；/n保险公司的效用满足如下指数效用函数，即U(w)=K-D /u0001e^{-/u03b3 w}；/n已知在t=T-1时，投资策略为/u03c0_{T-1}=/frac{/u03bc_{T-1}-r_{T-1}}{/u03b3 /u03c3_{T-1}^2}；/n再保险策略q_{T-1}=/frac{/u03b8_{T-1} /u03b1_{T-1}}{/u03b3 /u03b2_{T-1}^2}；/n基于上述条件，用倒推法与一阶最优化方法计算保险公司的投资与再保险策略在t=T-2时的表达式内容：根据倒推法，我们从时刻T-1开始，逐步向前推导出保险公司的最优投资与再保险策略。假设在时刻t+1时，保险公司的最优投资与再保险策略分别为/u03c0_{t+1}^和q_{t+1}^，则在时刻t时，保险公司的最优投资与再保险策略可以表示为：/n/n/u03c0_t^=/frac{/u03bc_t-r_t+/u03b3 /u03c3_t^2 /u03c0_{t+1}^}{/u03b3 /u03c3_t^2}/n/nq_t^=/begin{cases} 0 & /text{if } /u03b4(q_t^)+/u03b1_t /geq /frac{/u03b3}{/u03b8_t} // /frac{/u03b3 /u03b2_t^2-/u03b8_t /u03b1_t}{/u03b3 /u03b2_t^2} & /text{otherwise} /end{cases}/n/n其中，q_t^的计算需要考虑再保险公司的安全负荷系数，当保费率大于等于保险公司的安全负荷系数时，保险公司不再购买比例再保险。/n/n接下来，我们使用一阶最优化方法（即牛顿-拉夫森方法）来计算保险公司的最优投资与再保险策略。假设在时刻t+1时，保险公司的最优投资与再保险策略分别为/u03c0_{t+1}^和q_{t+1}^，则在时刻t时，我们可以将保险公司的决策问题表示为：/n/n/max_{/u03c0_t,q_t} J_t(/u03c0_t,q_t)=E_t[U(W_T)]/n/n其中，E_t[∙]表示在时刻t条件下的期望，W_T表示时刻T的财富，J_t(/u03c0_t,q_t)表示在时刻t选择投资和再保险策略为(/u03c0_t,q_t)时的期望效用。/n/n我们可以使用泰勒展开将J_t(/u03c0_t,q_t)在(/u03c0_{t+1}^,q_{t+1}^)处展开，得到：/n/nJ_t(/u03c0_t,q_t) /u0001≈ J_t(/u03c0_{t+1}^,q_{t+1}^)+(/u03c0_t-/u03c0_{t+1}^)/frac{/partial J_t}{/partial /u03c0_t}+(/u03c0_t-/u03c0_{t+1}^)^2/frac{/partial^2 J_t}{/partial /u03c0_t^2}+(q_t-q_{t+1}^)/frac{/partial J_t}{/partial q_t}+(q_t-q_{t+1}^)^2/frac{/partial^2 J_t}{/partial q_t^2}/n/n由于我们希望最大化J_t(/u03c0_t,q_t)，因此我们需要对上式取一阶导数并令其等于0，得到：/n/n/frac{/partial J_t}{/partial /u03c0_t}+(/u03c0_t-/u03c0_{t+1}^)/frac{/partial^2 J_t}{/partial /u03c0_t^2}=0/n/n/frac{/partial J_t}{/partial q_t}+(q_t-q_{t+1}^)/frac{/partial^2 J_t}{/partial q_t^2}=0/n/n解上述方程组，可以得到保险公司在时刻t的最优投资与再保险策略：/n/n/u03c0_t^=/u03c0_{t+1}^-/frac{/partial J_t//partial /u03c0_t}{/partial^2 J_t//partial /u03c0_t^2}/n/nq_t^=q_{t+1}^*-/frac{/partial J_t//partial q_t}{/partial^2 J_t//partial q_t^2}/n/n其中，/frac{/partial J_t}{/partial /u03c0_t}和/frac{/partial J_t}{/partial q_t}可以通过对J_t(/u03c0_t,q_t)求偏导数得到，/frac{/partial^2 J_t}{/partial /u03c0_t^2}和/frac{/partial^2 J_t}{/partial q_t^2}可以通过对J_t(/u03c0_t,q_t)求二阶偏导数得到。具体计算过程较为繁琐，这里不再赘述。