保险公司投资与再保险策略的倒推法求解 - T-2 期的投资策略 - 常规

保险公司投资与再保险策略的倒推法求解 - T-2 期的投资策略

本文以离散有限时间T期模型为基础，推导出保险公司在 T-2 时刻的投资策略表达式。

已知条件:

考虑下面的离散有限时间T期模型，假设无风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为r_t，风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为R_t， t=0,1,⋯,T-1。
假设保险公司的初始财富为w_0，令(\pi_t)表示保险公司在时刻t投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t表示保险公司在时刻t所收取的保费，z_t为其在时刻t所需支出的索赔金额，z_t和R_t相互独立），且假定z_t在各阶段的期望和方差分别为(\alpha_t)，(\beta_t^2)。
用风险暴露值q_t∈[0,+∞)表示保险公司购买比例再保险或获取新业务程度。当q_t∈[0,1]时，对应于购买了一份比例再保险，此时保险公司承担100q_t%比例的风险，再保险公司承担剩下 100(1-q_t )%比例的风险，支付的保费率为(\delta\left(q_t\right)=\left(1+\theta_t\right)\left(1-q_t\right) \alpha_t)，其中(\theta_t)为再保险公司的安全负荷系数；当q_t∈[1,+∞)时，对应于保险公司获得新业务。
财富过程(w_{t+1}=\left(w_t-\pi_t\right) r_t+\pi_t R_t+\ c_t-\delta\left(q_t\right)-q_t z_t)；
假设无风险资产收益率为r_t为会随时间变化的常数，风险资产收益率为R_t服从均值和方差分别为(\mu_t)，(\sigma_t^2)的正态分布；
保险公司的决策目标是追求自身终端财富的最大化。假设U(∙)是严格递增严格凹的函数，即U'(∙)>0且U''(∙)<0，表示保险公司的效用函数。定义保险公司在终端时刻T的期望财富效用为(J(u))≜E[U(W_T )]；
保险公司面临的优化问题是选择可行投资与再保险策略u，使得(sup┬(u∈Π) J(u)=J(u^* ))；
保险公司的效用满足如下指数效用函数，即U(w)=K-D (mathrm{e}^{-\gamma w})；
已知在t=T-1时，投资策略为(\pi_{T-1}=\frac{\mu_{T-1}-r_{T-1}}{\gamma \sigma_{T-1}^2})；
再保险策略(q_{T-1}=\frac{\theta_{T-1} \alpha_{T-1}}{\gamma \beta_{T-1}^2})；

推导过程：

基于上述条件，用倒推法与一阶最优化方法计算保险公司的投资策略在t=T-2时的表达式。

终端时刻的财富值和期望财富效用:

首先，根据财富过程的定义，我们可以得到终端时刻的财富值为：

(W_T = (w_{T-1} - \pi_{T-1})r_{T-1} + \pi_{T-1}R_{T-1} + c_{T-1} - \delta(q_{T-1}) - q_{T-1}z_{T-1})

将效用函数代入，可以得到终端时刻的期望财富效用为：

(J(u) = E[K - D \mathrm{e}^{-\gamma W_T}] = K - D \mathrm{e}^{-\gamma E[W_T]})

T-1 时刻的期望财富值:

接下来，我们使用倒推法来计算投资策略在t=T-2时的表达式。

首先，我们计算t=T-1时的期望财富值：

(E[W_{T-1}] = E[(w_{T-2} - \pi_{T-2})r_{T-1} + \pi_{T-2}R_{T-1} + c_{T-2} - \delta(q_{T-2}) - q_{T-2}z_{T-2}])

将(r_{T-1})表示为(r_{T-1} = \mu_{T-1} - \frac{\sigma_{T-1}^2}{2} + \sigma_{T-1}\epsilon_{T-1})，其中(\epsilon_{T-1})为标准正态分布随机变量，可以得到：

(E[W_{T-1}] = E[(w_{T-2} - \pi_{T-2})(\mu_{T-1} - \frac{\sigma_{T-1}^2}{2} + \sigma_{T-1}\epsilon_{T-1}) + \pi_{T-2}\mu_{T-1} + c_{T-2} - \delta(q_{T-2}) - q_{T-2}z_{T-2}])

由于(z_{T-2})与(R_{T-1})相互独立，可以得到：

(E[q_{T-2}z_{T-2}] = q_{T-2}E[z_{T-2}] = q_{T-2}\alpha_{T-2})

因此，财富过程可以表示为：

(W_{T-1} = (w_{T-2} - \pi_{T-2})(\mu_{T-1} - \frac{\sigma_{T-1}^2}{2}) + \pi_{T-2}\mu_{T-1} + c_{T-2} - \delta(q_{T-2}) - q_{T-2}\alpha_{T-2} + (w_{T-2} - \pi_{T-2})\sigma_{T-1}\epsilon_{T-1} + \pi_{T-2}R_{T-1})

效用函数的一阶导数:

接下来，我们计算效用函数在t=T-1时的一阶导数：

(J'(u) = \gamma D \mathrm{e}^{-\gamma W_T} \frac{\partial E[W_T]}{\partial u})

其中，u可以表示为(\pi_{T-1})或(q_{T-1})。因为在t=T-1时，我们已经知道了最优的投资和再保险策略，因此可以将u表示为它们的值，即：

(u = \pi_{T-1} = \frac{\mu_{T-1}-r_{T-1}}{\gamma\sigma_{T-1}^2})

或

(u = q_{T-1} = \frac{\theta_{T-1}\alpha_{T-1}}{\gamma\beta_{T-1}^2})

因此，(J'(u))可以表示为：

(J'(\pi_{T-1}) = \gamma D \mathrm{e}^{-\gamma E[W_T]} (\mu_{T-1} - E[W_{T-1}])\frac{1}{\gamma\sigma_{T-1}^2})

或

(J'(q_{T-1}) = \gamma D \mathrm{e}^{-\gamma E[W_T]} (\theta_{T-1}\alpha_{T-1} - q_{T-1}\alpha_{T-1})\frac{1}{\gamma\beta_{T-1}^2})

一阶最优化方法:

最后，我们使用一阶最优化方法来求解投资策略在t=T-2时的表达式。具体来说，我们需要求解(J'(u)=0)的解，即：

(\mu_{T-1} - E[W_{T-1}] = 0)

或

(\theta_{T-1}\alpha_{T-1} - q_{T-1}\alpha_{T-1} = 0)

将上述式子中的(E[W_{T-1}])和(q_{T-1})代入，可以得到：

(\pi_{T-2} = \frac{\mu_{T-1} - r_{T-1}}{\gamma\sigma_{T-1}^2})

或

(q_{T-2} = \frac{\theta_{T-1}\alpha_{T-1}}{\gamma\beta_{T-1}^2})

因此，保险公司在t=T-2时的投资策略为(\pi_{T-2} = \frac{\mu_{T-1} - r_{T-1}}{\gamma\sigma_{T-1}^2})。

总结：

通过上述倒推法和一阶最优化方法，我们推导出了保险公司在 T-2 时刻的投资策略表达式。最终结果表明，在 T-2 时刻，保险公司的投资策略与 T-1 时刻的投资策略相同，这表明投资策略在时间上保持一致。