保险公司再保险策略的倒推法计算 - T-1 时刻表达式

以下是已知条件：考虑下面的离散有限时间 T 期模型，假设无风险资产在第 t 期即时间段 (t, t+1] 的收益率为 r_t，风险资产在第 t 期即时间段 (t, t+1] 的收益率为 R_t， t = 0, 1, ⋯, T-1。假设保险公司的初始财富为 w_0，令 π_t 表示保险公司在时刻 t 投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t 表示保险公司在时刻 t 所收取的保费，z_t 为其在时刻 t 所需支出的索赔金额，z_t 和 R_t 相互独立（一般来讲，保险公司的索赔与证券资产收益率是相互独立的），且假定 z_t 在各阶段的期望和方差分别为 α_t/，β_t^2/ /n风险暴露值 q_t ∈ [0, +∞) 表示保险公司购买比例再保险或获取新业务程度。当 q_t ∈ [0, 1] 时，对应于购买了一份比例再保险，此时保险公司承担 100q_t% 比例的风险，再保险公司承担剩下 100(1-q_t )% 比例的风险，支付的保费率为 δ(q_t) = (1 + θ_t)(1-q_t) α_t，其中 θ_t 为再保险公司的安全负荷系数；当 q_t ∈ [1, +∞) 时，对应于保险公司获得新业务。/n财富过程 w_{t+1} = {(w_t - π_t) r_t} + {π_t R_t} + c_t - δ(q_t) - q_t z_t/n假设无风险资产收益率为 r_t 为会随时间变化的常数，风险资产收益率为 R_t 服从均值和方差分别为 μ_t/=E[R_t]，σ_t^2/=Var[R_t] 的正态分布。/n保险公司的决策目标是追求自身终端财富的最大化。假设 U(∙):R→R，是严格递增严格凹的函数，即 U'(∙)>0 且 U''(∙)<0，表示保险公司的效用函数。定义保险公司在终端时刻 T 的期望财富效用为 J(u)≜E[U(w_T )]/n保险公司面临的优化问题是选择可行投资与再保险策略 u，使得 sup┬(u∈Π) J(u)=J(u^* ),Π 为所有可行策略的集合/n保险公司的效用满足如下指数效用函数，即 U(w)=K-D e^(-γ w)/n基于上述条件，从 T 开始用倒推法、一阶最优化条件计算保险公司的再保险策略在 t=T-1 时的表达式内容：根据倒推法，从时刻 T-1 开始，保险公司的期望财富效用可以表示为：/n$$J(u_{T-1})=/max_{/pi_{T-1}}E[U(w_T)]$$ /n其中，$w_T$ 可以表示为：/n$$w_T=(w_{T-1}-/pi_{T-1})r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1}$$ /n将 $w_T$ 带入 $J(u_{T-1})$ 中，得到：/n$$J(u_{T-1})=/max_{/pi_{T-1}}E[U((w_{T-1}-/pi_{T-1})r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})]$$ /n根据指数效用函数，将 $U(w_T)$ 展开，得到：/n$$J(u_{T-1})=/max_{/pi_{T-1}}E[K-D /mathrm{e}^{-/gamma ((w_{T-1}-/pi_{T-1})r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}]$$ /n对上式求导，令导数等于 0，得到一阶最优化条件：/n$$/frac{/partial J(u_{T-1})}{/partial /pi_{T-1}}=-/gamma D r_{T-1} /mathrm{e}^{-/gamma ((w_{T-1}-/pi_{T-1})r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}(-r_{T-1}+/mu_{T-1})+D/gamma /mathrm{e}^{-/gamma ((w_{T-1}-/pi_{T-1})r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}=0$$ /n整理可得：/n$$/pi_{T-1}=/frac{/mu_{T-1}-r_{T-1}+/frac{D}{/gamma}/mathrm{e}^{-/gamma ((w_{T-1}-/pi_{T-1})r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}}{/frac{D}{/gamma}/mathrm{e}^{-/gamma ((w_{T-1}-/pi_{T-1})r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}+/gamma r_{T-1}}$$ /n因此，保险公司的再保险策略在 $t=T-1$ 时的表达式为：/n$$/pi_{T-1}=/frac{/mu_{T-1}-r_{T-1}+/frac{D}{/gamma}/mathrm{e}^{-/gamma ((w_{T-1}-/pi_{T-1})r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}}{/frac{D}{/gamma}/mathrm{e}^{-/gamma ((w_{T-1}-/pi_{T-1})r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}+/gamma r_{T-1}}$$