离散有限时间T期模型下保险公司投资策略的倒推法计算

根据倒推法，从T-1时刻开始，保险公司的决策变量为投资于风险资产的比例'π_(T-1)'，并且需要最大化期望财富效用'J(u)=E[U(w_T)]'。由于效用函数为指数效用函数，因此可以使用风险中性估计法计算风险资产的期望收益率和方差。

首先，根据财富过程的定义，可以得到't=T-1'时刻的财富公式：

'w_T=(w_(T-1)-π_(T-1)r_(T-1))r_T+π_(T-1)R_T+c_(T-1)-δ(q_(T-1))-q_(T-1)z_(T-1)'

将指数效用函数代入期望财富效用的定义中，可以得到：

'J(u)=E[K-D'e'^(-γw_T)]'

根据期望的线性性，可以将指数项拆分开来，得到：

'J(u)=K-E[D'e'^(-γ(w_(T-1)-π_(T-1)r_(T-1)))'e'^(-γπ_(T-1)R_T)'e'^(-γc_(T-1))'e'^(-γδ(q_(T-1)))'e'^(-γq_(T-1)z_(T-1))]'

由于'z_(T-1)'和'R_T'相互独立，因此可以将指数项中的'e'^(-γπ_(T-1)R_T)'和'e'^(-γq_(T-1)z_(T-1))'拆分开来，得到：

'J(u)=K-E[D'e'^(-γ(w_(T-1)-π_(T-1)r_(T-1)))'e'^(-γπ_(T-1)μ_T)'e'^(-γπ_(T-1)σ_T^2/2)'e'^(-γc_(T-1))'e'^(-γδ(q_(T-1)))'e'^(-γq_(T-1)α_(T-1))'e'^(-γq_(T-1)β_(T-1)^2/2)]'

对指数项取对数并求导，可以得到一阶条件：

'∂J(u)/∂π_(T-1)=Dγ'e'^(-γ(w_(T-1)-π_(T-1)r_(T-1)))'e'^(-γπ_(T-1)μ_T)'e'^(-γπ_(T-1)σ_T^2/2)(r_(T-1)-μ_T)=0'

由于效用函数是严格递增的，因此需要满足二阶条件'∂^2J(u)/∂π_(T-1)^2<0'。对一阶条件求二阶导数，可以得到：

'∂^2J(u)/∂π_(T-1)^2=-Dγ^2'e'^(-γ(w_(T-1)-π_(T-1)r_(T-1)))'e'^(-γπ_(T-1)μ_T)'e'^(-γπ_(T-1)σ_T^2/2)(σ_T^2π_(T-1)^2+2σ_T^2π_(T-1)(r_(T-1)-μ_T)+γσ_T^2)'

由于指数项中的'e'^(-γ(w_(T-1)-π_(T-1)r_(T-1)))'和'e'^(-γπ_(T-1)μ_T)'e'^(-γπ_(T-1)σ_T^2/2)'均为正数，因此可以将其约掉。同时，由于效用函数的二阶导数为负，因此'σ_T^2π_(T-1)^2+2σ_T^2π_(T-1)(r_(T-1)-μ_T)+γσ_T^2<0'。化简后可以得到：

'π_(T-1)=(μ_T-r_(T-1))/(γσ_T^2)'

因此，保险公司在't=T-1'时刻的最优投资策略为将所有剩余财富投资于风险资产，比例为'(μ_T-r_(T-1))/(γσ_T^2)'。